Μάθημα : Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ

Στις δύο αυτές διαλέξεις συνεχίσαμε τη μελέτη των πραγματικών ακολουθιών, εναλλάσσοντας συστηματικά ανάμεσα στις δύο ισοδύναμες οπτικές που έχουμε εισαγάγει: την ακολουθία ως άπειρο διάνυσμα και την ακολουθία ως συνάρτηση με πεδίο ορισμού το ℕ.

Αρχικά εξετάσαμε πρόσθετα παραδείγματα ακολουθιών.  Ως παράδειγμα από τη θεωρία πιθανοτήτων χρησιμοποιήσαμε την εκθετική κατανομή και την ακολουθία των τιμών της πυκνότητάς της στους φυσικούς. Συζητήσαμε επίσης τη γεωμετρική ακολουθία

1, 1/α, 1/α², 1/α³, …,

καθώς και τις διαφορετικές συμπεριφορές της ανάλογα με την τιμή της παραμέτρου α.

Ιδιαίτερη έμφαση δόθηκε στους τρόπους περιγραφής μιας ακολουθίας. Μια ακολουθία μπορεί να περιγραφεί:

• με την παράθεση των πρώτων όρων της, όταν ο κανόνας είναι αναγνωρίσιμος,

• με έναν ρητό τύπο για τον γενικό όρο xₙ,

• ή αναδρομικά, μέσω μιας αρχικής τιμής και μιας σχέσης που προσδιορίζει κάθε νέο όρο από προηγούμενους όρους.

Τονίστηκε ότι η παράθεση πεπερασμένου πλήθους όρων δεν προσδιορίζει γενικά μια μοναδική άπειρη ακολουθία: διαφορετικοί κανόνες μπορούν να συμφωνούν στις πρώτες θέσεις και να αποκλίνουν αργότερα. Αυτό αποτελεί μια πρώτη ένδειξη της διαφοράς ανάμεσα σε πεπερασμένα δεδομένα και ένα πραγματικά άπειρο μαθηματικό αντικείμενο.

Χρησιμοποιώντας τη διανυσματική οπτική, ορίσαμε στη συνέχεια την ισότητα δύο ακολουθιών. Οι ακολουθίες (xₙ) και (yₙ) είναι ίσες ακριβώς όταν xₙ = yₙ για κάθε n ∈ ℕ. Πρόκειται για τη φυσική επέκταση της ισότητας πεπερασμένων διανυσμάτων σε διανύσματα με άπειρο πλήθος συνιστωσών.

Αν μία τουλάχιστον συντεταγμένη διαφέρει, οι δύο ακολουθίες δεν είναι ίσες. Η παρατήρηση αυτή μάς οδήγησε σε μια ασθενέστερη, αλλά ιδιαίτερα χρήσιμη, έννοια: τη σχεδόν παντού ισότητα δύο ακολουθιών. Με τον όρο αυτό εννοούμε εδώ ότι οι δύο ακολουθίες διαφέρουν σε πεπερασμένο μόνο πλήθος θέσεων — ισοδύναμα, ότι υπάρχει ένας δείκτης N από τον οποίο και μετά ισχύει xₙ = yₙ.

Η έννοια αυτή επιτρέπει να αγνοούμε πεπερασμένες αρχικές αποκλίσεις και να επικεντρωνόμαστε στην «ουρά» της ακολουθίας. Είναι επομένως κατάλληλη για τη μελέτη ασυμπτωτικών ιδιοτήτων, δηλαδή ιδιοτήτων που δεν μεταβάλλονται όταν τροποποιούμε πεπερασμένο πλήθος όρων. Αργότερα θα διαπιστώσουμε ότι η σύγκλιση, η απόκλιση προς το +∞ ή το −∞ και πολλές άλλες βασικές αναλυτικές ιδιότητες έχουν ακριβώς αυτόν τον χαρακτήρα.

Αποδείξαμε ότι η σχεδόν παντού ισότητα είναι:

• ανακλαστική: κάθε ακολουθία είναι σχεδόν παντού ίση με τον εαυτό της,

• συμμετρική: αν η (xₙ) είναι σχεδόν παντού ίση με την (yₙ), τότε και η (yₙ) είναι σχεδόν παντού ίση με την (xₙ),

• μεταβατική: αν η (xₙ) είναι σχεδόν παντού ίση με την (yₙ) και η (yₙ) είναι σχεδόν παντού ίση με την (zₙ), τότε η (xₙ) είναι σχεδόν παντού ίση με την (zₙ).

Στη μεταβατικότητα χρειάζεται ιδιαίτερη προσοχή στους δείκτες. Αν η πρώτη ισότητα ισχύει από κάποια θέση N₁ και μετά και η δεύτερη από κάποια θέση N₂ και μετά, επιλέγουμε

N = max{N₁, N₂}.

Τότε, για κάθε n ≥ N, ισχύουν ταυτόχρονα xₙ = yₙ και yₙ = zₙ, άρα xₙ = zₙ. Επομένως, η σχεδόν παντού ισότητα είναι σχέση ισοδυναμίας και χωρίζει το σύνολο των πραγματικών ακολουθιών σε κλάσεις ακολουθιών που έχουν την ίδια ουρά, με ενδεχομένως πεπερασμένες αρχικές διαφορές.

Στη συνέχεια χρησιμοποιήσαμε εκ νέου τη διανυσματική οπτική για να ορίσουμε πράξεις μεταξύ ακολουθιών:

• κατά σημείο πρόσθεση: (xₙ) + (yₙ) = (xₙ + yₙ),

• βαθμωτό πολλαπλασιασμό: λ(xₙ) = (λxₙ),

• κατά σημείο πολλαπλασιασμό: (xₙ)(yₙ) = (xₙyₙ).

Ως προς την πρόσθεση και τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό, το σύνολο των πραγματικών ακολουθιών αποτελεί πραγματικό διανυσματικό χώρο. Ο κατά σημείο πολλαπλασιασμός προσθέτει μια πλουσιότερη αλγεβρική δομή, η οποία παρουσιάζει φαινόμενα που δεν εμφανίζονται στο ℝ.

Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι η ύπαρξη μη μηδενικών ακολουθιών των οποίων το γινόμενο είναι η μηδενική ακολουθία. Αν

xₙ = 1 για άρτιο n και xₙ = 0 για περιττό n,

ενώ

yₙ = 0 για άρτιο n και yₙ = 1 για περιττό n,

τότε ούτε η (xₙ) ούτε η (yₙ) είναι η μηδενική ακολουθία, αλλά xₙyₙ = 0 για κάθε n. Οι δύο ακολουθίες αποτελούν επομένως μηδενοδιαιρέτες. Σε αντίθεση με το ℝ, η άλγεβρα των πραγματικών ακολουθιών δεν είναι σώμα ούτε ακέραια περιοχή.

Στο δεύτερο μέρος της τέταρτης διάλεξης περάσαμε από την αλγεβρική στην αναλυτική μελέτη των ακολουθιών. Ως αρχικά παραδείγματα συγκρίναμε την ταυτοτική ακολουθία

0, 1, 2, 3, …,

η οποία δεν μπορεί να εγκλειστεί σε διάστημα πεπερασμένης ακτίνας, με ακολουθίες όπως

1, 1/2, 1/3, 1/4, …,

των οποίων όλοι οι όροι βρίσκονται σε ένα κοινό φραγμένο διάστημα.

Για να διατυπώσουμε με ακρίβεια αυτή τη διάκριση, επιστρέψαμε στη συναρτησιακή οπτική. Εισαγάγαμε πρώτα την έννοια της άνω φραγμένης πραγματικής συνάρτησης: μια συνάρτηση f : X → ℝ είναι άνω φραγμένη όταν υπάρχει M ∈ ℝ τέτοιο ώστε f(x) ≤ M για κάθε x ∈ X. Αντίστοιχα ορίζονται η κάτω φραγή και η αμφίπλευρη φραγή.

Η έννοια της φραγής συνδέεται άμεσα με τη θεωρία βελτιστοποίησης, αλλά δεν πρέπει να συγχέεται με την ύπαρξη μέγιστου. Το ότι μια συνάρτηση είναι άνω φραγμένη σημαίνει μόνο ότι οι τιμές της δεν υπερβαίνουν κάποιο κοινό επίπεδο. Δεν συνεπάγεται ότι η συνάρτηση λαμβάνει τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή της. Για παράδειγμα, η f(x) = x στο ανοικτό διάστημα (0,1) είναι άνω φραγμένη από το 1, αλλά δεν έχει μέγιστο στο πεδίο ορισμού της.

Μεταφέροντας τον συναρτησιακό ορισμό στις ακολουθίες, λέμε ότι η (xₙ) είναι:

• άνω φραγμένη, αν υπάρχει M ∈ ℝ ώστε xₙ ≤ M για κάθε n,

• κάτω φραγμένη, αν υπάρχει L ∈ ℝ ώστε L ≤ xₙ για κάθε n,

• φραγμένη, αν είναι ταυτόχρονα άνω και κάτω φραγμένη.

Ισοδύναμα, η (xₙ) είναι φραγμένη όταν υπάρχει C ≥ 0 τέτοιο ώστε |xₙ| ≤ C για κάθε n. Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι ολόκληρη η εικόνα της ακολουθίας μπορεί να εγκλειστεί σε ένα διάστημα πεπερασμένης ακτίνας.

Οι πίνακες των δύο διαλέξεων είναι διαθέσιμοι εδώ και εδώ. Για συστηματικότερη μελέτη μπορείτε επίσης να συμβουλευθείτε το δεύτερο κεφάλαιο των σημειώσεων του μαθήματος.

Περαιτέρω ασκήσεις

1. Να κατασκευάσετε δύο διαφορετικούς κανόνες που παράγουν τους ίδιους πρώτους πέντε όρους μιας ακολουθίας και διαφορετικούς όρους στη συνέχεια. Τι δείχνει αυτό για την περιγραφή μιας ακολουθίας μέσω πεπερασμένου πλήθους αρχικών όρων;

2. Έστω ότι οι ακολουθίες (xₙ) και (yₙ) διαφέρουν σε ακριβώς k θέσεις, ενώ οι (yₙ) και (zₙ) διαφέρουν σε ακριβώς ℓ θέσεις. Να δείξετε ότι οι (xₙ) και (zₙ) διαφέρουν σε το πολύ k + ℓ θέσεις.

3. Να βρείτε παραδείγματα στα οποία το πλήθος των θέσεων όπου διαφέρουν οι (xₙ) και (zₙ) είναι:
   α) μηδέν,
   β) θετικό αλλά μικρότερο από k + ℓ,
   γ) ίσο με k + ℓ.

4.  

5. Γιατί η σχεδόν παντού ισότητα δεν προσφέρει κάποια ουσιαστικά νέα έννοια όταν εφαρμόζεται σε διανύσματα του ℝᵈ; Τι αλλάζει όταν περνάμε σε ακολουθίες, οι οποίες διαθέτουν άπειρο πλήθος συνιστωσών;

6. Να βρείτε δύο μη μηδενικές ακολουθίες (xₙ) και (yₙ), διαφορετικές από το παράδειγμα των άρτιων και περιττών θέσεων, τέτοιες ώστε xₙyₙ = 0 για κάθε n.

7. Να δώσετε παράδειγμα άνω φραγμένης συνάρτησης η οποία δεν έχει μέγιστο και παράδειγμα άνω φραγμένης συνάρτησης η οποία έχει μέγιστο. Ποια είναι η ουσιώδης διαφορά ανάμεσα στις δύο περιπτώσεις;