Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Ιστολόγιο

Επιστροφή

Σύνοψη Διαλέξεων 21ης-24ης (Ακ. Έτος 2024-25)

Δευτέρα, 23 Δεκεμβρίου 2024 - 1:58 π.μ.

Προκειμένου να μπορούμε να ασχοληθούμε με πολυπλοκότερα παραδείγματα αλλά και με την έννοια της δυναμοσειράς και τις συνακόλουθες εφαρμογές, ξεκινήσαμε την γενίκευση των έννοιών που έχουμε δει μέχρι τώρα εισάγωντας και την έννοια της ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού. Παρατηρήσαμε ότι είναι δυνατόν να αντιληφθούμε μια ακολουθία πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού με τουλάχιστον δύο ισοδύναμους τρόπους. Ο δεύτερος την αναπαριστά ως "λίστα" πραγματικών ακολουθιών, μία για καθε σημείο του κοινού πεδίου ορισμού. Αυτός μαζί με την έννοια του ορίου πραγματικής ακολουθίας μας οδήγησε "φυσικά" στην έννοια του σημειακού ορίου ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων, το οποίο εξ'ορισμού είναι πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού υποσύνολο του κοινού πεδίου ορισμού των όρων της ακολουθίας. (Και) μέσω παραδειγμάτων παρατηρήσαμε ότι αυτή η έννοια ορίου είναι αρκετά ασθενής ώστε είναι δυνατόν η συνάρτηση όριο να μην έχει ιδιότητες που έχουν όλα τα μέλη της ακολουθίας όπως π.χ. η συνέχεια, και πως είναι δυνατόν να οριστούν ισχυρότερες μορφές ορίου που να διατηρούν κάποιες από αυτές τις ιδιότητες.

Ξεκινήσαμε την πραγμάτευση της έννοιας της σειράς πραγματικών συναρτήσεων, παρατηρώντας ότι μπορούμε να την διαχειριστούμε αναλόγως με τις πραγματικές σειρές, έχοντας στην διάθεση μας την διαδικασία της κατά σημείο μερικής άθροισης και την έννοια του σημειακού ορίου. Έτσι, ορίσαμε την έννοια της σειράς πραγματικών συναρτήσεων ως σημειακό όριο κατάλληλης ακολουθίας μερικών αθροισμάτων. Προκειμένου να εντοπίζουμε μέρος του πεδίου ορισμού μιας τέτοιας σειράς διατυπώσαμε αλγόριθμο που βασίζεται στο κριτήριο του πηλίκου και είδαμε παραδείγματα. Παρατηρήσαμε ότι είναι δυνατόν σε μέρος του πεδίου ορισμού της μια τέτοια σειρά να συγκλίνει απολύτως και σε άλλο μέρος κατά συνθήκη (προφανώς το τελευταίο δεν είναι δυνατόν να εντοπισθεί από το κριτήριο του πηλίκου-γιατί;). Εξετάσαμε παραδείγματα, μεταξύ των οποίων και διμεταβλητής συνάρτησης.

Ξεκινήσαμε την πραγμάτευση παραδείγματος που επισκοπεί μεγάλο μέρος της μέχρι τώρα ύλης, και αφορά στην βέλτιστη επιλογή διαχρονικής κατανάλωσης σε κατάλληλο υπόβαθρο. Σε αυτό παρατηρήσαμε ότι διαχρονική ροή κατανάλωσης είναι όποια πραγματική ακολουθία από μη αρνητικούς όρους, ενώ αρχίσαμε να εργαζόμαστε στην κατασκευή εφικτού συνόλου από διαχρονικές ροές κατανάλωσης δεδομένης εξωγενούς αρχικής προικοδότησης και τεχνολογίας μετασχηματισμού πόρων.

Ασχοληθήκαμε με την περιγραφή εφικτού συνόλου που προσδιορίζεται από εξωγενή προικοδότηση και σταθερή στον χρόνο τεχνολογία μετασχηματισμού των πόρων. Παρατηρήσαμε ότι το εφικτό σύνολο από διαχρονικές ροές κατανάλωσης δεδομένων των παραπάνω, προσδιορίζεται από ακολουθία ανισοτικών περιορισμών ("διαχρονικοί εισοδηματικοί περιορισμοί"). Δείξαμε ότι είναι μη κένο και ότι αποτελείται από (ομοιόμορφα) φραγμένες ακολουθίες. .

Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ, εδώ και εδώ.

Τους πίνακες των από απόστασης διαλέξεων του Ακ. Έτους 2020-21 που περιλαμβάνουν σχετικές με τις παραπάνω έννοιες, μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Περαιτέρω Ασκήσεις

Όταν το $X=\mathbb{R}$ να βρεθεί το $X^{*}$ για την $\sum_{i=0}^{\infty} x/i!$ .
Όταν το $X=\mathbb{R}$ να βρεθεί το $X^{*}$ για την $\sum_{i=0}^{\infty}x^{3i}/i!$ .
Όταν το $X=\mathbb{R}$ να βρεθεί το $X^{*}$ για την $\sum_{i=0}^{\infty} x/(i+1)$ .
Όταν το $X=\mathbb{R}$ να βρεθεί το $X^{*}$ για την $\sum_{i=0}^{\infty} x^{2i}/(i+1)$ .
Να επαναλάβετε τα προηγούμενα για το $X=(0,1)$ .
Υπάρχουν στα παραπάνω περιπτώσεις που γνωρίζουμε βάσει και των όσων έχουμε κάνει προηγουμένως και ποιό είναι το όριο;
Όταν το $X=\mathbb{R}$ να βρεθεί το $X^{*}$ για την $\sum_{i=0}^{\infty} \sin(ix)/i!$ χωρίς την χρήση του κριτηρίου.
Προσπαθήστε να επαναλάβετε το παραπάνω χρησιμοποιώντας το κριτήριο.
Να επαναλάβετε το ζητούμενο στην 8 όταν το $X=\mathbb{R}$ για την $\sum_{i=0}^{\infty} \cos(ix)/i$ .
Ερμηνεύστε οικονομικά τον μετασχηματισμό $k\rightarrow k^{a}$ .