Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Ιστολόγιο

Επιστροφή

Σύνοψη Διαλέξεων 17ης-18ης (Ακ. Έτος 2024-25)

Κυριακή, 8 Δεκεμβρίου 2024 - 2:19 π.μ.

Συνεχίσαμε την διερεύνηση του ζητήματος σύγκλισης της υπεραρμονικής σειράς. Στα πλαίσια αυτού του παραδείγματος, είδαμε ότι είναι δυνατόν η φραγή της σχετικής ΑΜΑ να προκύπτει μέσω της επιλογής κατάλληλης βοηθητικής πραγματικής ακολουθίας η οποία δεν είναι γενικά προφανής. Κατανοήσαμε έτσι την ανάγκη ύπαρξης "υπολογιστικά απλού" τρόπου διαπίστωσης της σύγκλισης σε κάποιες τουλάχιστον περιπτώσεις.

Μέσω περαιτέρω παραδείγματος παρατηρήσαμε ότι σε κάποιες περιπτώσεις η φραγή της ΑΜΑ είναι δυνατόν να προκύψει μέσω της κατά σημείο σύγκρισης της παραπάνω με κατάλληλα επιλεγμένη συγκλίνουσα γεωμετρική. Αυτό τελικά μας οδήγησε στην κατασκευή γενικού κριτηρίου το οποίο θα μας πληροφορεί σε κάποιες περιπτώσεις για το αν δεδομένη σειρά υπάρχει μέσω μιας υπολογιστικά "λιγότερο περίπλοκης" διαδιακασίας.

Ξεκινήσαμε να χρησιμοποιούμε την καταχρηστική ορολογία που χρησιμοποιείται γενικότερα στις σχετικές βιβλιογραφίες περί "σύγκλισης σειρών".

Προκειμένου για την διατύπωση του κριτηρίου του πηλίκου ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με εκλέπτυνση της έννοιας σύγκλισης σειρών, εν προκειμένω με την έννοια της απόλυτης σύγκλισης.

Αποδείξαμε ότι η απόλυτη σύγκλιση αποτελεί γνήσια εκλέπτυνση της συνήθους σύγκλισης, ενώ αναφέραμε εν συντομία το Θεώρημα Σειρών του Riemann και το ότι ανν έχουμε απόλυτη σύγκλιση η αναδιάταξη των όρων της σειράς δεν επηρεάζει την άθροιση.

Μέσω του παραπάνω μπορέσαμε και διατυπώσαμε το Κριτήριο του Πηλίκου το οποίο (σε κάποιες περιπτώσεις) αποφαίνεται για το αν δεδομένη σειρά συγκλίνει απολύτως ή αποκλίνει και ξεκινήσαμε να εργαζόμαστε με αυτό.

Παρατηρήσαμε ότι επί της ουσίας λειτουργεί μέσω της σύγκρισης με γεωμετρική σειρά ο συντελεστής της οποίας σχετίζεται με το όριο της βοηθητικής ακολουθίας των πηλίκων των απολύτων τιμών των διαδοχικών όρων. Συνεπώς είναι αναμενόμενο ότι όταν τέτοια σύγκριση είναι αδύνατη (π.χ. σε υπεραρμονικές σειρές) το κριτήριο θα είναι να είναι μη πληροφοριακό όταν υπάρχει το σχετικό όριο.

Μέσω παραδειγμάτων, είδαμε ότι η περίπτωση της μη πληροφοριακότητας είναι δυνατόν να αφορά κατά συνθήκη σύγκλιση, κάτι αναμενόμενο, απόκλιση αλλά και απόλυτη σύγκλιση. Συνεπώς είναι γενικά αδύνατο να συνάγουμε κάτι για την συμπεριφορά σειράς για την οποία το κριτήριο είναι μη πληροφοριακό χρησιμοποιώντας μόνο το κριτήριο. Παρατηρήσαμε επίσης ότι υπάρχουν εκλεπτύνσεις του κριτηρίου που είναι δυνατόν να μας πληροφορούν για την συμπεριφορά δεδομένης σειράς είτε όταν το όριο της βοηθητικής ακολουθίας δεν υπάρχει, είτε όταν αυτό ισούται με ένα

Πρόχειρες σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ, εδώ, και εδώ.

Τους πίνακες των από απόστασης διαλέξεων του Ακ. Έτους 2020-21, που μεταξύ άλλων, αναφέρονται και στα παραπάνω να βρείτε εδώ, εδώ και εδώ.Αντίστοιχους σχετικούς πίνακες από απόστασης διάλεξης από το Ακ. Έτος 2021-22 μπορείτε να βρείτε εδώ.

Περαιτέρω Ασκήσεις (προσπαθήστε να λύσετε τις 1-4 τόσο χρησιμοποιώντας αποκλειστικά το κριτήριο του πηλίκου όσο και χωρίς να το χρησιμοποίησετε).

Δείξτε ότι η σειρά $\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i}}{i!}$ συγκλίνει για κάθε $x\geq 0$ .
Δείξτε ότι η σειρά $\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{(i+1)^m},\: 0\leq m <1$ αποκλίνει.
Δείξτε ότι η σειρά $\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i^{m}))$ για όποιο $m>1$ συγκλίνει. Υπόδειξη: Μπορείτε να συσχετίσετε την συμπεριφορά της εν λόγω σειράς με την ανάλογη υπεραρμονική. Μπορείτε για μεγαλύτερη ευκολία να ασχοληθείτε με την $\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i+1)^{m}))$ ή/και να δείτε την προηγούμενη μόνο για m=2).
Δείξτε ότι η σειρά $\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(i)+1}$ αποκλίνει.
Επινοήστε όσο το δυνατόν περισσότερες σειρές και προσπαθήστε να διαπιστώσετε το αν συγκλίνουν χρησιμοποιώντας πλέον αποκλειστικά το κριτήριο. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε και αυτές που αναφέρονται σε παλαιότερες αναρτήσεις.
Προσπαθήστε να ερμηνεύσετε στα πλαίσια της οικονομικής θεωρίας το τι θα συνέβαινε στο άνω φράγμα της συνολικής προσφοράς χρήματος αν οι εμπορικές τράπεζες δεν είχαν υποχρέωση διακράτησης ρευστών διαθεσίμων ( $a=0$ );