Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Ολοκληρώσαμε το υπόδειγμα τιμολόγησης χρηματοοικονομικού τίτλου. Εκφράσαμε υπό προϋποθέσεις την τιμή ως σειρά των κατάλληλα προεξοφλημένων αποδόσεων. Διερευνήσαμε παραδείγματα της προσέγγισής μας, ένα εκ των οποίων αφορούσε στην μη σύγκλιση κατάλληλης σειράς, ως σχετικό με την έννοια της χρηματοοικονομικής φούσκας. Η περιορισμένη εκφραστικότητα του υποδείγματος συνεπάγονταν στο εν λόγω παράδειγμα τον απειρισμό της τιμής (εξαιτίας της απόκλισης της σειράς των παρουσών αξιών των αποδόσεων), κάτι που προφανώς δεν παρατηρείται στην πραγματικότητα.

Η κατασκευή πιο εκφραστικών υποδειγμάτων, αλλά και η εξέταση της έννοιας της δυναμοσειράς και των συνακόλουθων εφαρμογών, διευκολύνεται από την γενίκευση των έννοιών που έχουμε δει μέχρι τώρα εισάγωντας και την έννοια της ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού. Παρατηρήσαμε ότι είναι δυνατόν να αντιληφθούμε μια ακολουθία πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού με τουλάχιστον δύο ισοδύναμους τρόπους. Ο δεύτερος την αναπαριστά ως "λίστα" πραγματικών ακολουθιών, μία για καθε σημείο του κοινού πεδίου ορισμού. Αυτός μαζί με την έννοια του ορίου πραγματικής ακολουθίας μας οδήγησε "φυσικά" στην έννοια του σημειακού ορίου ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων, το οποίο εξ' ορισμού είναι πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού υποσύνολο του κοινού πεδίου ορισμού των όρων της ακολουθίας. Μέσω παραδειγμάτων παρατηρήσαμε ότι αυτή η έννοια ορίου είναι αρκετά ασθενής ώστε είναι δυνατόν η συνάρτηση όριο να μην έχει ιδιότητες που έχουν όλα τα μέλη της ακολουθίας όπως π.χ. η συνέχεια, και πως είναι δυνατόν να οριστούν ισχυρότερες μορφές ορίου που να διατηρούν κάποιες από αυτές τις ιδιότητες.

Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ. Ένα γενικότερο υπόδειγμα αποτίμησης σε υπόβαθρο αβεβαιότητας (το οποίο προφανώς είναι εκτός της ύλης του μαθήματος) μπορείτε να βρείτε εδώ (και περισσότερες λεπτομέρειες για αυτό μπορείτε να βρείτε στο κεφ. 9 του εγχειριδίου που ενδεχομένως έχετε επιλέξει στο μάθημα της Στατιστικής ΙΙ).

Σχετικούς πίνακες από απόσταση διαλέξεων από προηγούμενα ακαδημαϊκά έτη μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Άσκηση: Η έννοια του σημειακού όριου δεν επιτρέπει στο x να εξαρτάται από το n εντός των πραγματικών ακολουθιών που συναπαρτίζουν τις ακολουθίες συναρτήσεων. Προσπαθήστε να κατασκευάσετε έννοια ορίου για τις ακολουθίες συναρτήσεων που μελετούμε, στην οποία θα επιτρέπεται η προαναφερθείσα εξάρτηση.

Υ.γ.: Ενδιαφέρον υλικό για επανάληψη στα των πραγματικών ακολουθίων και σειρών, αλλά και εισαγωγή σε περαιτέρω έννοιες (όπως του πως θα ήταν δυνατόν να τροποποιείται η διαδιακασία μερικής άθροισης ώστε αποκλίνουσες σειρές να μετατρέπονται σε συγκλίνουσες) μπορείτε να βρείτε (εφόσον ενδιαφέρεστε) εδώ.