Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Ιστολόγιο

Επιστροφή

Σύνοψη Διαλέξεων 13ης-14ης (Ακ. Έτος 2022-23)

Δευτέρα, 28 Νοεμβρίου 2022 - 2:51 μ.μ.

Συνεχίσαμε με το παράδειγμα της αρμονικής σειράς και εκμεταλλευόμενοι την προεργασία που είχαμε κάνει για την προσέγγιση του γενικού όρου της αρμονικής ΑΜΑ από ολοκλήρωμα, δείξαμε ότι η εν λόγω σειρά δεν υπάρχει επειδή η ΑΜΑ αυτής δεν είναι φραγμένη.

Αναφερθήκαμε στο παράδειγμα της εναλλάσουσας αρμονικής η οποία υπάρχει και ισούται με ln(2), και σημειώσαμε ότι τα εννοιολογικά εργαλεία που έχουμε συγκεντρώσει μέχρι τώρα δεν επαρκούν για να εξετάσουμε το τι συμβάινει με αυτό το παράδειγμα•θα μας χρησιμεύσουν οι δυναμοσειρές. Επιφυλαχθήκαμε με το παράδειγμα της υπεραρμονικής σειράς.

Παρατηρήσαμε ότι με την εξαίρεση παραδειγμάτων όπως αυτό της γεωμετρικής σειράς, όπου ήταν "εύκολο" να βρεθεί και να ελεγχθεί ως προς την σύγκλιση γενικός τύπος για την μερική άθροιση, γενικά τα ζητήματα i) της ύπαρξης δεδομένης σειράς και ii) της εύρεσης του με τι ισούται όταν υπάρχει, εμφανίζουν δυσκολίες στην γενική τους επίλυση ανάλογες με αυτές των διαδικασιών ολοκλήρωσης.

Εστιάζοντας κυρίως στο ζήτημα της διακρίβωσης του εάν δεδομένη σειρά υπάρχει, ξεκινήσαμε την διατύπωση θεμελιώδους λογισμού σειρών που βασίζεται στον λογισμό που έχουμε αναπτύξει για τα όρια. Έτσι καταρχάς είδαμε ότι όταν η αρχική ακολουθία αποτελείται από ομόσημους όρους τότε, και επειδή η ακολουθία μερικών αθροισμάτων αυτής είναι μονότονη, η σχετική σειρά θα υπάρχει ανν η ακολουθία μερικών αθροισμάτων είναι φραγμένη.

Το παραπάνω χρησιμοποιήθηκε προκειμένου να δείξουμε ότι η υπεραρμονική σειρά υπάρχει. Στα πλαίσια αυτού του παραδείγματος,είδαμε ότι είναι δυνατόν η φραγή της σχετικής ΑΜΑ να προκύπτει μέσω της επιλογής κατάλληλης βοηθητικής πραγματικής ακολουθίας η οποία δεν είναι γενικά προφανής. Κατανοήσαμε έτσι την ανάγκη ύπαρξης "υπολογιστικά απλού" τρόπου διαπίστωσης της σύγκλισης σε κάποιες τουλάχιστον περιπτώσεις.

Εξετάσαμε στοιχεία του λογισμού σειρών που άπτονται άλγεβρας συγκλινουσών σειρών, σχετίσαμε το ζήτημα της σύγκλισης σειράς με την σύγκλισης της σειράς που προκύπτει αν από την αρχική εξαιρέσουμε πεπερασμένο πλήθος των αρχικών της όρων.

Μέσω παραδείγματος παρατηρήσαμε ότι σε κάποιες περιπτώσεις η φραγή της ΑΜΑ είναι δυνατόν να προκύψει μέσω της κατά σημείο σύγκρισης της παραπάνω με κατάλληλα επιλεγμένη συγκλίνουσα γεωμετρική. Αυτό τελικά μας οδήγησε στην κατασκευή γενικού κριτηρίου το οποίο θα μας πληροφορεί σε κάποιες περιπτώσεις για το αν δεδομένη σειρά υπάρχει μέσω μιας υπολογιστικά "λιγότερο περίπλοκης" διαδιακασίας.

Ξεκινήσαμε να χρησιμοποιούμε την καταχρηστική ορολογία που χρησιμοποιείται γενικότερα στις σχετικές βιβλιογραφίες περί "σύγκλισης σειρών".

Προκειμένου για την διατύπωση του κριτηρίου του πηλίκου ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με εκλέπτυνση της έννοιας σύγκλισης σειρών, εν προκειμένω με την έννοια της απόλυτης σύγκλισης.

Πρόχειρες σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ, εδώ, εδώ, και εδώ.

Τους πίνακες των από απόστασης διαλέξεων του Ακ. Έτους 2020-21, που μεταξύ άλλων, αναφέρονται και στα παραπάνω να βρείτε εδώ, εδώ και εδώ.

Περαιτέρω Ασκήσεις

Χρησιμοποιώντας την γεωμετρική σειρά, και χωρίς να ασχοληθείτε με το αν μπορείτε να την «παραγωγίσετε» ως προς $a$ προσπαθήστε να βρείτε την $\sum_{i=1}^{\infty}i a^{i}$ όταν $|a|<1,\: a\neq 0$ .
Αν $\sum_{i=0}^{\infty} \alpha^{i},\: \sum_{i=0}^{\infty}\beta^{i}$ υπάρχουσες γεωμετρικές σειρές τότε με τι ισούται η $\sum_{i=0}^{\infty} (\alpha^{i}-\beta^{i})$ και γιατί;
Να δείξετε ότι κάθε άθροισμα πεπερασμένου πλήθους όρων είναι δυνατόν να γραφεί ως κάταλληλη σειρά.
Ισχύει ότι $\sum_{i=0}^{\infty}a_{i}b_{i}=\sum_{i=0}^{\infty}a_{i}\sum_{i=0}^{\infty}b_{i}$ ; Υπάρχει περίπτωση να μην υπάρχει κάποια από τις δύο σειρές στην δεξιά πλευρά και να υπάρχει η σειρά στην αριστερή πλευρά της εν λόγω ισότητας;
Να δείξετε ότι $\lim_{k\rightarrow\infty}\sum_{i=k}^{\infty}x_{i}=0$ όταν η σειρά $\sum_{i=0}^{\infty}x_{i}$ υπάρχει.
Δείξτε ότι η σειρά $\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i}}{i!}$ συγκλίνει για κάθε $x\geq 0$ .
Δείξτε ότι η σειρά $\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{(i+1)^m},\: 0\leq m <1$ αποκλίνει.
Δείξτε ότι η σειρά $\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i^{m}))$ για όποιο $m>1$ συγκλίνει. Υπόδειξη: Μπορείτε να συσχετίσετε την συμπεριφορά της εν λόγω σειράς με την ανάλογη υπεραρμονική. Μπορείτε για μεγαλύτερη ευκολία να ασχοληθείτε με την $\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i+1)^{m}))$ ή/και να δείτε την προηγούμενη μόνο για m=2).
Δείξτε ότι η σειρά $\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(i)+1}$ αποκλίνει.