Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Ιστολόγιο

Σύνοψη Διαλέξεων 22ης-23ης και 24ης

Κυριακή, 23 Ιανουαρίου 2022 - 2:57 π.μ.
- από τον χρήστη ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ ΣΤΥΛΙΑΝΟΣ

Δεδομένων των όσων μελετήσαμε για τα σημειακά όρια, της δυνατότητας κατα σημείο πρόσθεσης πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού, και των όσων ξέρουμε για τις πραγματικές σειρές, ορίσαμε την έννοια της σειράς πραγματικών συναρτήσεων ως σημειακό όριο κατάλληλης ακολουθίας μερικών αθροισμάτων. Προκειμένου να εντοπίζουμε μέρος του πεδίου ορισμού μιας τέτοιας σειράς διατυπώσαμε αλγόριθμο που βασίζεται στο κριτήριο του πηλίκου και είδαμε παραδείγματα. Παρατηρήσαμε ότι είναι δυνατόν σε μέρος του πεδίου ορισμού της μια τέτοια σειρά να συγκλίνει απολύτως και σε άλλο μέρος κατά συνθήκη (προφανώς το τελευταίο δεν είναι δυνατόν να εντοπισθεί από το κριτήριο του πηλίκου-γιατί;).

Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Ξεκινήσαμε την πραγμάτευση παραδείγματος που επισκοπεί μεγάλο μέρος της μέχρι τώρα ύλης, και αφορά στην βέλτιστη επιλογή διαχρονικής κατανάλωσης σε κατάλληλο υπόβαθρο. Σε αυτό παρατηρήσαμε ότι διαχρονική ροή κατανάλωσης είναι όποια πραγματική ακολουθία από μη αρνητικούς όρους, ενώ αρχίσαμε να εργαζόμαστε στην κατασκευή εφικτού συνόλου από διαχρονικές ροές κατανάλωσης δεδομένης εξωγενούς αρχικής προικοδότησης και τεχνολογίας μετασχηματισμού πόρων. 

Ασχοληθήκαμε με την περιγραφή εφικτού συνόλου που προσδιορίζεται από εξωγενή προικοδότηση και σταθερή στον χρόνο τεχνολογία μετασχηματισμού των πόρων. Παρατηρήσαμε ότι το εφικτό σύνολο από διαχρονικές ροές κατανάλωσης δεδομένων των παραπάνω, προσδιορίζεται από ακολουθία ανισοτικών περιορισμών ("διαχρονικοί εισοδηματικοί περιορισμοί"). Δείξαμε ότι είναι μη κένο, και ότι αποτελείται από (ομοιόμορφα) φραγμένες ακολουθίες. 

Δεδομένης της διερεύνησης μας για το παράδειγμα εφικτού συνόλου, περιγράφοντας σε αδρές γραμμές την σύνδεση μεταξύ σχέσης προτίμησεων επί του εφικτού συνόλου και (όταν υπάρχει) συνάρτησης ωφέλειας που την αναπαριστά, ασχοληθήκαμε με παράδειγμα συνάρτησης ωφέλειας επί του εφικτού συνόλου και με το ζήτημα του αν αυτή (και συνακόλουθα το πρόβλημα της βέλτιστης επιλογής διαχρονικής ροής κατανάλωσης) είναι καλώς ορισμένη. Αυτή είχε την μορφή σειράς συναρτήσεων και εμφάνιζε τα χαρακτηριστικά της χρονικής διαχωρισιμότητας (time separability) και της εκθετικής χρονικής προεξόφλησης (exponential discounting). Το να είναι καλώς ορισμένη ισοδυναμεί με το να συγκλίνει για κάθε εφικτή διαχρονική κατανάλωση. Δεδομένων των τιμών που επιτρέψαμε στον συντελεστή χρονικής προτίμησης, και χρησιμοποιώντας μια σειρά από συλλογισμούς που άπτονται σημαντικού μέρους της μέχρι τώρα μας ύλης, δείξαμε το καλώς ορισμένο. 

Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Τους πίνακες των από διαλέξεων μπορείτε να βρείτε εδώ, εδώ και εδώ.

Περαιτέρω Ασκήσεις

  1. Όταν το X=\mathbb{R} να βρεθεί το X^{*} για την \sum_{i=0}^{\infty} x/i!.
  2. Όταν το X=\mathbb{R} να βρεθεί το X^{*} για την \sum_{i=0}^{\infty}x^{3i}/i! .
  3. Όταν το X=\mathbb{R} να βρεθεί το X^{*} για την \sum_{i=0}^{\infty} x/(i+1).
  4. Όταν το X=\mathbb{R} να βρεθεί το X^{*} για την \sum_{i=0}^{\infty} x^{2i}/(i+1).
  5. Να επαναλάβετε τα προηγούμενα για το X=(0,1).
  6. Υπάρχουν στα παραπάνω περιπτώσεις που γνωρίζουμε βάσει και των όσων έχουμε κάνει προηγουμένως και ποιό είναι το όριο;
  7. Όταν το X=\mathbb{R} να βρεθεί το X^{*} για την \sum_{i=0}^{\infty} \sin(ix)/i! χωρίς την χρήση του κριτηρίου.
  8. Προσπαθήστε να επαναλάβετε το παραπάνω χρησιμοποιώντας το κριτήριο.
  9. Να επαναλάβετε το ζητούμενο στην 8 όταν το X=\mathbb{R} για την \sum_{i=0}^{\infty} \cos(ix)/i.
  10. Ερμηνεύστε οικονομικά τον μετασχηματισμό k\rightarrow k^{a}.
  11. Προσπαθήστε να δείξετε αν το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διερευνήθηκε παραπάνω είναι καλώς ορισμένο όταν η συνάρτηση ωφέλειας είναι η \sum_{t=0}^{\infty}\beta^{t}\ln (c_{t}+1).
  12. Για το προηγούμενο να βρεθούν αν υπάρχουν εφικτές διαχρονικές καταναλώσεις με σχεδόν όλους τους όρους θετικούς για τις οποίες η συνάρτηση ωφέλειας συγκλίνει όταν \beta=1.
  13. Εξηγήστε το γιατί η συνάρτηση ωφέλειας είναι σειρά πραγματικών συναρτήσεων η κάθε μία εκ των οποίων ορίζεται επί του εφικτού συνόλου.
  14. Προσπαθείστε να διερευνήσετε ότι έχει γίνει και ότι έχει ζητηθεί στην εφαρμογή μας όταν αντί του μετασχηματισμού k\rightarrow k^{a} ισχύει ο μετασχηματισμός (δηλ. ο στιγμιαίος ανατοκισμός του διαθέσιμου πόρου με στιγμιαίο σταθερό στον χρόνο επιτόκιο r)
 0   0
Σχόλια (0)