Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Ιστολόγιο

Επιστροφή

Σύνοψη από απόσταση διαλέξεων (ακ. έτος 2020-21): 16η-17η

Σάββατο, 19 Δεκεμβρίου 2020 - 3:42 μ.μ.

Μέσω παραδείγματος παρατηρήσαμε ότι σε κάποιες περιπτώσεις η φραγή της ΑΜΑ είναι δυνατόν να προκύψει μέσω της κατά σημείο σύγκρισης της παραπάνω με κατάλληλα επιλεγμένη συγκλίνουσα γεωμετρική. Αυτό τελικά μας οδήγησε στην κατασκευή γενικού κριτηρίου το οποίο θα μας πληροφορεί σε κάποιες περιπτώσεις για το αν δεδομένη σειρά υπάρχει μέσω μιας υπολογιστικά "λιγότερο περίπλοκης" διαδιακασίας.

Ξεκινήσαμε να χρησιμοποιούμε την καταχρηστική ορολογία που χρησιμοποιείται γενικότερα στις σχετικές βιβλιογραφίες περί "σύγκλισης σειρών".

Προκειμένου για την διατύπωση του κριτηρίου του πηλίκου ασχοληθήκαμε με εκλέπτυνση της σύγκλισης σειρών, εν προκειμένω με την έννοια της απόλυτης σύγκλισης. Δείξαμε ότι πρόκειται περί γνήσιας εκλέπτυνσης, ενώ αναφέραμε εν συντομία το Θεώρημα Σειρών του Riemann και το ότι ανν έχουμε απόλυτη σύγκλιση η αναδιάταξη των όρων της σειράς δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα.

Μέσω του παραπάνω μπορέσαμε και διατυπώσαμε το Κριτήριο του Πηλίκου το οποίο (σε κάποιες περιπτώσεις) αποφαίνεται για το αν δεδομένη σειρά συγκλίνει απολύτως ή αποκλίνει και ξεκινήσαμε να εργαζόμαστε με αυτό.

Παρατηρήσαμε ότι επί της ουσίας λειτουργεί μέσω της σύγκρισης με γεωμετρική σειρά ο συντελεστής της οποίας σχετίζεται με το όριο της βοηθητικής ακολουθίας των πηλίκων των απολύτων τιμών των διαδοχικών όρων. Συνεπώς αναμένουμε ότι όταν τέτοια σύγκριση είναι αδύνατη (π.χ. σε υπεραρμονικές σειρές) το κριτήριο αναμένεται να είναι μη πληροφοριακό.

Πρόχειρες σημειώσεις (και κάποιες ασκήσεις) για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ, και εδώ.

Τους πίνακες των από απόσταση διαλέξεων μπορείτε να βρείτε εδώ.

Ασκήσεις (προσπαθήστε να λύσετε τις 1-4 χρησιμοποιώντας αποκλειστικά το κριτήριο του πηλίκου).

Δείξτε ότι η σειρά $\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i}}{i!}$ συγκλίνει για κάθε $x\geq 0$ .
Δείξτε ότι η σειρά $\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{(i+1)^m},\: 0\leq m <1$ αποκλίνει.
Δείξτε ότι η σειρά $\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i^{m}))$ για όποιο $m>1$ συγκλίνει. Υπόδειξη: Μπορείτε να συσχετίσετε την συμπεριφορά της εν λόγω σειράς με την ανάλογη υπεραρμονική. Μπορείτε για μεγαλύτερη ευκολία να ασχοληθείτε με την $\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i+1)^{m}))$ ή/και να δείτε την προηγούμενη μόνο για m=2).
Δείξτε ότι η σειρά $\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(i)+1}$ αποκλίνει.
Επινοήστε όσο το δυνατόν περισσότερες σειρές και προσπαθήστε να διαπιστώσετε το αν συγκλίνουν χρησιμοποιώντας πλέον αποκλειστικά το κριτήριο. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε και αυτές που αναφέρονται σε παλαιότερες αναρτήσεις.