Μάθημα : Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ

Η πρώτη διάλεξη είχε καταρχάς τον χαρακτήρα ενημέρωσης για ζητήματα που άπτονται της διεξαγωγής του μαθήματος. Τα παραπάνω εν μέρει περιγράφονται στην σύνοψη του μαθήματος η οποία βρίσκεται εδώ.

Επίσης, έγινε σύντομη περιγραφή και κινητροδότηση βασικών εννοιών που θα παρουσιαστούν κατά την διάρκεια του μαθήματος. Πρόχειρες σημειώσεις για αυτά όπως και ασκήσεις για επανάληψη προγενέστερων εννοιών που είναι δυνατόν να χρειαστούν βρίσκονται εδώ. 

Τους πίνακες της από απόστασης αντίστοιχης περυσινής

Συνεχίσαμε με στοιχεία της άλγεβρας μεταξύ δυναμοσειρών με κοινό κέντρο, με αναφορά στα διαστήματα σύγκλισής τους. Παρατηρήσαμε π.χ. ότι δύο δυναμοσειρές με το ίδιο κέντρο είναι ίσες ανν οι συντελεστές τους είναι κατά σημείο ίσοι, ενώ περισσότερο περίπλοκες σχέσεις μεταξύ των συντελεστών είναι δυνατόν να χρειάζονται για την διατύπωση ισότητας μεταξύ δυναμοσειρών με διαφορετικά κέντρα. Αναλόγως το άθροισμα δυναμοσειρών με κοινό κέντρο είναι δυναμοσειρά με το ίδιο κέντρο και διάστημα σύγκλισης υπε

Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας με το παράδειγμα εφικτού συνόλου αποδεικνύοντας ότι αποτελείται από (ομοιόμορφα) φραγμένες ακολουθίες. Δεδομένης της διερεύνησης μας για το παράδειγμα εφικτού συνόλου, περιγράφοντας σε αδρές γραμμές την σύνδεση μεταξύ σχέσης προτίμησεων επί του εφικτού συνόλου και (όταν υπάρχει) συνάρτησης ωφέλειας που την αναπαριστά, ασχοληθήκαμε με παράδειγμα συνάρτησης ωφέλειας επί του εφικτού συνόλου και με το ζήτημα του αν αυτή (και συνακόλουθα το πρόβλημα της βέλτιστης επιλογή

Δεδομένων των όσων μελετήσαμε για τα σημειακά όρια, της δυνατότητας κατα σημείο πρόσθεσης πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού, και των όσων ξέρουμε για τις πραγματικές σειρές, ορίσαμε την έννοια της σειράς πραγματικών συναρτήσεων ως σημειακό όριο κατάλληλης ακολουθίας μερικών αθροισμάτων. Προκειμένου να εντοπίζουμε μέρος του πεδίου ορισμού μιας τέτοιας σειράς διατυπώσαμε αλγόριθμο που βασίζεται στο κριτήριο του πηλίκου και είδαμε παραδείγματα. Παρατηρήσαμε ότι είναι δυνατόν σε μέρος τ

Προκειμένου να μπορούμε να ασχοληθούμε με πολυπλοκότερα παραδείγματα αλλά και με την έννοια της δυναμοσειράς και τις συνακόλουθες εφαρμογές, ξεκινήσαμε την γενίκευση των έννοιών που έχουμε δει μέχρι τώρα εισάγωντας και την έννοια της ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού. Παρατηρήσαμε ότι είναι δυνατόν να αντιληφθούμε μια ακολουθία πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού με τρεις ισοδύναμους τρόπους. Ο δεύτερος την αναπαριστά ως "λίστα" πραγματικών ακολουθιών, μία για

Σε ότι αφορά στο κριτήριο του πηλίκου,και μέσω παραδειγμάτων, είδαμε ότι η περίπτωση της μη πληροφοριακότητας είναι δυνατόν να αφορά κατά συνθήκη σύγκλιση, κάτι αναμενόμενο, απόκλιση αλλά και απόλυτη σύγκλιση. Συνεπώς είναι γενικά αδύνατο να συνάγουμε κάτι για την συμπεριφορά σειράς για την οποία το κριτήριο είναι μη πληροφοριακό χρησιμοποιώντας μόνο το κριτήριο. Παρατηρήσαμε επίσης ότι υπάρχουν εκλεπτύνσεις του κριτηρίου που είναι δυνατόν να μας πληροφορούν για την συμπεριφορά δεδομένης σειράς 

Μέσω παραδείγματος παρατηρήσαμε ότι σε κάποιες περιπτώσεις η φραγή της ΑΜΑ είναι δυνατόν να προκύψει μέσω της κατά σημείο σύγκρισης της παραπάνω με κατάλληλα επιλεγμένη συγκλίνουσα γεωμετρική. Αυτό τελικά μας οδήγησε στην κατασκευή γενικού κριτηρίου το οποίο θα μας πληροφορεί σε κάποιες περιπτώσεις για το αν δεδομένη σειρά υπάρχει μέσω μιας υπολογιστικά "λιγότερο περίπλοκης" διαδιακασίας.

Ξεκινήσαμε να χρησιμοποιούμε την καταχρηστική ορολογία που χρησιμοποιείται γενικότερα στις σχετικές βιβλιογρ

Εστιάζοντας κυρίως στο ζήτημα της διακρίβωσης του εάν δεδομένη σειρά υπάρχει, ξεκινήσαμε την διατύπωση θεμελιώδους λογισμού σειρών που βασίζεται στον λογισμό που έχουμε αναπτύξει για τα όρια. Έτσι καταρχάς είδαμε ότι όταν η αρχική ακολουθία αποτελείται από ομόσημους όρους τότε και επειδή η ακολουθία μερικών αθροισμάτων αυτής είναι μονότονη, η σχετική σειρά θα υπάρχει ανν η ακολουθία μερικών αθροισμάτων είναι φραγμένη.

Το παραπάνω χρησιμοποιήθηκε προκειμένου να δείξουμε ότι η υπεραρμονική σειρά υ

Ξεκινώντας την ενασχόληση μας με τις πραγματικές σειρές, και προσπαθώντας να εννοιολογήσουμε το απειροπληθές άθροισμα είδαμε ότι γενικά αυτό είναι αδύνατο μέσω της άλγεβρας. Ξεκινήσαμε την εννοιολόγηση ορίζοντας την έννοια της ακολουθίας μερικών αθροισμάτων δεδομένης πραγματικής ακολουθίας που περικλείει του συντελεστές του αθροίσματος. Αυτή μπορεί να θεωρηθεί ως διαδικασία "ολοκλήρωσης ", ενώ η ζητούμενη έννοια της σειράς ως προς την ακολουθία των συντελεστών είναι το όριο αυτής όταν αυτό υπάρχ

Είδαμε πως εφαρμόζεται ο αναλυτικός ορισμός του ορίου σε παραδείγματα και αντιπαραδείγματα και προχωρήσαμε μέσω της χρήσης του στην διακρίβωση της σχέσης της σύγκλισης με τις αλγεβρικές πράξεις που έχουμε μελετήσει για πραγματικές ακολουθίες. Παρατηρώντας ότι η χρήση μέρους του λογισμού έχει να κάνει με την διευκόλυνση της εξακρίβωσης του ζητήματος σύγκλισης (και ενδεχομένως της συνακόλουθης εύρεσης του ορίου) για ακολουθίες που απατελούν κατάλληλους μετασχηματισμούς ακολουθιών των οποίων η ασυμ