Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Εδώ μπορείτε να βρείτε σχετικές διορθώσεις.

Χρησιμοποιώντας τον διανυσματικό ορισμό εξετάσαμε την έννοια της ισότητας πραγματικών ακολουθιών η οποία και αποτελεί κατά "φυσικό τρόπο" επέκταση της έννοιας της ισότητας πραγματικών διανυσμάτων. Εξετάσαμε συνοπτικά μια γενίκευση αυτής, η οποία επιτρέπει την συσχέτιση δύο πραγματικών ακολουθιών ως σχεδόν παντού ίσες ακόμη και όταν έχουν διαφορετικές συνιστώσες σε πεπερασμένο πλήθος θέσεων. Γενικεύοντας θεωρήσαμε ότι μια ιδιότητα P θα ικανοποιείται σχεδόν παντού από μια πραγματική ακολουθία αν κ

Η πρώτη διάλεξη είχε καταρχάς τον χαρακτήρα ενημέρωσης για ζητήματα που άπτονται της διεξαγωγής του μαθήματος. Τα παραπάνω εν μέρει περιγράφονται στην σύνοψη του μαθήματος η οποία βρίσκεται εδώ.

Επίσης, έγινε σύντομη περιγραφή και κινητροδότηση βασικών εννοιών που θα παρουσιαστούν κατά την διάρκεια του μαθήματος. Πρόχειρες σημειώσεις για αυτά όπως και ασκήσεις για επανάληψη προγενέστερων εννοιών που είναι δυνατόν να χρειαστούν βρίσκονται εδώ. 

Τους πίνακες της από απόστασης εν λόγω διάλεξης μπορ

• Στην σελίδα 1 των αναρτημένων σημειώσεων που βρίσκονται εδώ αναφέρεται η πρόταση "επειδη το όριο συγκλίνουσας ακολουθίας μη αρνητικών όρων δεν μπορεί να είναι θετικό" αντί του ορθού (γιατί;) "επειδη το όριο συγκλίνουσας ακολουθίας μη θετικών όρων δεν μπορεί να είναι αυστηρά θετικό".
• Στην σελίδα 5 των αναρτημένων σημειώσεων που βρίσκονται εδώ στην περίπτωση 3, αναφέρεται η ισοδυναμία  αντί της ορθής  οπότε και θα πρέπει να καταλήξουμε στο  να είναι ο μικρότερος φυσικός που είναι μεγαλύτερος ίσος

Χρησιμοποιώντας την παραγωγισιμότητα, εργαστήκαμε με παραδείγματα που προέκυψαν στα πλαίσια της γεωμετρικής σειράς όποτε είδαμε ότι είναι δυνατόν να χρησιμοποιείται η εν λόγω αναλυτική ιδιότητα προκειμένου να βρίσκουμε πραγματικές σειρές.

Στην συνέχεια παρατηρήσαμε ότι το θεώρημα της παραγωγισιμότητας συνεπάγεται άμεσα ότι οι δυναμοσειρές με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης είναι ομαλές συναρτήσεις στο εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης τους. Εργαστήκαμε για την εξαγωγή της μορφής των παραγώγω

Δεδομένης της προηγούμενης διερεύνησης μας για το παράδειγμα εφικτού συνόλου, περιγράφοντας σε αδρές γραμμές την σύνδεση μεταξύ σχέσης προτίμησεων επί του εφικτού συνόλου και (όταν υπάρχει) συνάρτησης ωφέλειας που την αναπαριστά, ασχοληθήκαμε με παράδειγμα συνάρτησης ωφέλειας επί του εφικτού συνόλου και με το ζήτημα του αν αυτή (και συνακόλουθα το πρόβλημα της βέλτιστης επιλογής διαχρονικής ροής κατανάλωσης) είναι καλώς ορισμένη. Αυτή είχε την μορφή σειράς συναρτήσεων και εμφάνιζε τα χαρακτηριστ

Προχωρήσαμε με το παράδειγμα τιμολόγησης χρηματοοικονομικού τίτλου εκφράζοντας υπό προϋποθέσεις την τιμή ως σειρά των κατάλληλα προεξοφλημένων αποδόσεων. Θεωρήσαμε υποπαράδειγμα της προσέγγισής μας που αφορούσε στην μη σύγκλιση κατάλληλης σειράς, ως σχετικό με την έννοια της χρηματοοικονομικής φούσκας.

Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ. Ένα γενικότερο υπόδειγμα αποτίμησης σε υπόβαθρο αβεβαιότητας (το οποίο προφανώς είναι εκτός της ύλης του μαθήματος) μπορείτε να βρεί

Ξεκινήσαμε να χρησιμοποιούμε την καταχρηστική ορολογία που χρησιμοποιείται γενικότερα στις σχετικές βιβλιογραφίες περί "σύγκλισης σειρών".

Προκειμένου για την διατύπωση ευχερούς αλγορίθμου για την διακρίβωση του αν δεδομένη σειρά είναι συγκλίνουσα, ασχοληθήκαμε με  εκλέπτυνση της σύγκλισης σειρών, εν προκειμένω με την έννοια της απόλυτης σύγκλισης. Δείξαμε ότι πρόκειται περί γνήσιας εκλέπτυνσης, ενώ αναφέραμε εν συντομία το Θεώρημα Σειρών του Riemann και το ότι ανν έχουμε απόλυτη σύγκλιση η αναδ

Εστιάζοντας κυρίως στο ζήτημα της διακρίβωσης του εάν δεδομένη σειρά υπάρχει, ξεκινήσαμε την διατύπωση θεμελιώδους λογισμού σειρών που βασίζεται στον λογισμό που έχουμε αναπτύξει για τα όρια. Έτσι καταρχάς είδαμε ότι όταν η αρχική ακολουθία αποτελείται από ομόσημους όρους τότε και επειδή η ακολουθία μερικών αθροισμάτων αυτής είναι μονότονη, η σχετική σειρά θα υπάρχει ανν η ακολουθία μερικών αθροισμάτων είναι φραγμένη.

Στα πλαίσια αυτού, ασχοληθήκαμε με ασκήσεις όπου καλούμασταν να αποφανθούμε γι

Προκειμένου για την διατύπωση περαιτέρω στοιχείων του λογισμού των ορίων μεταγράψαμε τον αρχικό γεωμετρικό ορισμό του ορίου σε ισοδύναμο αναλυτικό ορισμό, χρησιμοποιώντας τους ποσοδείκτες ("υπάρχει" και "για κάθε" ) και ανισότητες. Είδαμε πως εφαρμόζεται αυτός σε παραδείγματα και αντιπαραδείγματα και προχωρήσαμε μέσω της χρήσης του στην διακρίβωση της σχέσης της σύγκλισης με τις αλγεβρικές πράξεις που έχουμε μελετήσει για πραγματικές ακολουθίες. Παρατηρώντας ότι η χρήση μέρους του λογισμού έχει