Μάθημα : Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ

Εξετάσαμε παραδείγματα μεταξύ των οποίων αυτά της γεωμετρικής, της αρμονικής, της εναλλάσουσας αρμονικής και της υπεραρμονικής ακολουθίας μερικών αθροισμάτων (και συνακόλουθα σειρών όπου αυτές υπάρχουν). Παρατηρήσαμε ότι με την εξαίρεση παραδειγμάτων όπως αυτό της γεωμετρικής σειράς, όπου ήταν "εύκολο" να βρεθεί και να ελεγχθεί ως προς την σύγκλιση γενικός τύπος για την μερική άθροιση, και κάπως δυσκολότερα αυτό της αρμονικής σειράς, όπου βρήκαμε μέσω ολοκλήρωσης μη φραγμένη ακολουθία που φράσσε

Προχωρήσαμε περαιτέρω στην διακρίβωση της σχέσης της σύγκλισης με τις αλγεβρικές πράξεις που έχουμε μελετήσει για πραγματικές ακολουθίες. Παρατηρώντας ότι η χρήση μέρους του λογισμού έχει να κάνει με την διευκόλυνση της εξακρίβωσης του ζητήματος σύγκλισης (και ενδεχομένως της συνακόλουθης εύρεσης του ορίου) για ακολουθίες που απατελούν κατάλληλους μετασχηματισμούς ακολουθιών των οποίων η ασυμπτωτική συμπεριφορά είναι γνωστή, αναφερθήκαμε καταλήγωντας στον μετασχηματισμό ακολουθιών μέσω σύνθεσης

Συνεχίσαμε την εξαγωγή σειράς από αποτελέσματα που συγκροτούν ένα μικρό μέρος του (ατελούς) λογισμού που χρησιμεύει στην διακρίβωση του αν μια ακολουθία είναι συγκλίνουσα, ή/και όταν είναι, στην εύρεση του ορίου αυτής. Είδαμε ότι αν μια ακολουθία είναι συγκλίνουσα είναι και φραγμένη οπότε ισοδύναμα αν μια ακολουθία είναι μη φραγμένη τότε αναγκαστικά είναι αποκλίνουσα,  ότι όταν μια συγκλίνουσα ακολουθία έχει μη αρνητικούς όρους,τότε το όριο της δεν μπορείνα είναι αρνητικό, και ότι το ζήτημα της

Συνεχίσαμε την διερεύνηση ζητημάτων μονοτονίας για τις πραγματικές ακολουθίες. Δείξαμε ότι η μονοτονία προκύπτει ισοδύναμα από την σύγκριση μεταξύ των όρων σε κάθε ζεύγος διαδοχικών όρων της ακολουθίας. Παρατηρήσαμε ότι οι (γνησίως) αύξουσες ακολουθίες είναι αναγκαστικά φραγμένες από κάτω, ενώ δυικά οι (γνησίως) φθίνουσες ακολουθίες είναι αναγκαστικά φραγμένες από πάνω. Παρόλα αυτά υπάρχουν μονότονες ακολουθίες που δεν είναι φραγμένες ακριβώς επειδή τους λείπει η ύπαρξη του έτερου φράγματος, ενώ

Ασχοληθήκαμε περαιτέρω με την έννοια της φραγής. Διατυπώσαμε τον ορισμό της φραγμένης πραγματικής ακολουθίας χρησιμοποιώντας την συνάρτηση ακή της μορφή. Είδαμε παραδείγματα και αντί παραδείγματα.

Συνεχίσαμε με την διατύπωση και απόδειξη βοηθητικών αποτελεσμάτων. Το πρώτο αφορά στην διακρίβωση της φραγής μέσω της κατα σημείο σύγκρισης με κατάλληλη βοηθητική ακολουθία. Στο δεύτερο δείξαμε ότι η ιδιότητα της φραγής δεν προσδιορίζεται από κανένα πεπερασμένο υποσύνολο της ακολουθίας αλλά εξαρτάται α

Εδώ μπορείτε να βρείτε σύνοψη της 5ης διάλεξεις όπως και σχόλια περί της βιβλιογραφίας και των αναπληρώσεων.

Χρησιμοποιώντας τον διανυσματικό ορισμό εξετάσαμε παραδείγματα αλγεβρικών πράξεων μεταξύ ακολουθιών όπως η κατά σημείο πρόσθεση και ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός (ως προς αυτές το σύνολο των πραγματικών ακολουθιών είναι διανυσματικός χώρος) καθώς και την πράξη του σημειακού πολλαπλασιασμού.

Στην συνέχεια και χρησιμοποιώντας τον συναρτησιακό ορισμό ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με αναλυτικές ιδιότητες που μπορεί να έχουν πραγματικές ακολουθίες. Αρχίσαμε, διερευνώντας με λεπτομέρεια τον ορισμό του φρ

Προκειμένου για την κατανόηση της έννοιας του ορίου, ξεκινήσαμε την πραγμάτευση της έννοιας της πραγματικής ακολουθίας. Εξετάσαμε δύο ισοδύναμους ορισμούς, ο πρώτος εκ των οποίων είναι βολικός για την πραγμάτευση αλγεβρικών ιδιοτήτων ενώ ο δεύτερος για την πραγμάτευση αναλυτικών ιδιοτήτων και την γενίκευση της έννοιας. Παρουσιάσαμε παραδείγματα πραγματικών ακολουθιών.

Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Τους πίνακες της από απόστασης 2ης διάλεξης από το Ακ. Έτος 2020-

Η πρώτη διάλεξη είχε καταρχάς τον χαρακτήρα ενημέρωσης για ζητήματα που άπτονται της διεξαγωγής του μαθήματος. Τα παραπάνω εν μέρει περιγράφονται στην σύνοψη του μαθήματος η οποία βρίσκεται εδώ.

Επίσης, έγινε σύντομη περιγραφή και κινητροδότηση βασικών εννοιών που θα παρουσιαστούν κατά την διάρκεια του μαθήματος. Πρόχειρες σημειώσεις για αυτά όπως και ασκήσεις για επανάληψη προγενέστερων εννοιών που είναι δυνατόν να χρειαστούν βρίσκονται εδώ. 

Τους πίνακες της από απόστασης αντίστοιχης περυσινής

Συνεχίσαμε με στοιχεία της άλγεβρας μεταξύ δυναμοσειρών με κοινό κέντρο, με αναφορά στα διαστήματα σύγκλισής τους. Παρατηρήσαμε π.χ. ότι δύο δυναμοσειρές με το ίδιο κέντρο είναι ίσες ανν οι συντελεστές τους είναι κατά σημείο ίσοι, ενώ περισσότερο περίπλοκες σχέσεις μεταξύ των συντελεστών είναι δυνατόν να χρειάζονται για την διατύπωση ισότητας μεταξύ δυναμοσειρών με διαφορετικά κέντρα. Αναλόγως το άθροισμα δυναμοσειρών με κοινό κέντρο είναι δυναμοσειρά με το ίδιο κέντρο και διάστημα σύγκλισης υπε