Μάθημα : Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ

Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας με το ζήτημα της φραγής ως προς τις πραγματικές ακολουθίες εξετάζοντας παραδείγματα και άντιπαραδείγματα. Παρατηρήσαμε ότι ως προς το ερώτημα του αν δεδομένη ακολουθία είναι φραγμένη, η άμεση χρήση του ορισμού είναι γενικά δυσχερής. Προσπαθήσαμε να το αντιμετωπίσουμε, τουλάχιστον ως προς το ότι θα μας απασχολήσει στην συνέχεια, μέσω της ανάπτυξης ενός μικρού σχετικού λογισμού. Έτσι ασχοληθήκαμε με την εξαγωγή αποτελεσμάτων που π.χ. αποδίδουν την ιδιότητα της φραγής

Συνεχίσαμε με την διερεύνηση της έννοιας της φραγμένης πραγματικής συνάρτησης, εκκινώντας από την έννοια της φραγής από πάνω, εξετάζοντας παραδείγματα και άντι-παραδείγματα. Ασχοληθήκαμε αντιστοίχως με την δυική έννοια της φραγής από κάτω. Συνδυάζοντας τα προηγούμενα αποκτήσαμε τελικά την έννοια της φραγής για πραγματικές συναρτήσεις.

Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω διατυπώσαμε τελικά τον ορισμό της φραγμένης πραγματικής ακολουθίας χρησιμοποιώντας καταρχάς την συνάρτησιακή της μορφή. Είδαμε παραδείγ

Παρουσιάσαμε περαιτέρω παραδείγματα πραγματικών ακολουθιών, κάποια εκ των οποίων άπτονται της της θεωρίας πιθανοτήτων. Εξετάσαμε ζητήματα περιγραφής και συμβολισμών. Χρησιμοποιώντας τον διανυσματικό ορισμό εξετάσαμε την έννοια της ισότητας πραγματικών ακολουθιών η οποία και αποτελεί κατά "φυσικό τρόπο" επέκταση της έννοιας της ισότητας πραγματικών διανυσμάτων. Εξετάσαμε συνοπτικά μια γενίκευση αυτής, η οποία επιτρέπει την συσχέτιση δύο πραγματικών ακολουθιών ως σχεδόν παντού ίσες ακόμη και όταν

Η πρώτη διάλεξη είχε καταρχάς τον χαρακτήρα ενημέρωσης για ζητήματα που άπτονται της διεξαγωγής του μαθήματος. Τα παραπάνω εν μέρει περιγράφονται στην σύνοψη του μαθήματος η οποία βρίσκεται εδώ.

Επίσης, έγινε σύντομη περιγραφή και κινητροδότηση βασικών εννοιών που θα παρουσιαστούν κατά την διάρκεια του μαθήματος. Πρόχειρες σημειώσεις για αυτά όπως και ασκήσεις για επανάληψη προγενέστερων εννοιών που είναι δυνατόν να χρειαστούν βρίσκονται εδώ. 

Προκειμένου για την κατανόηση της έννοιας του ορίου,

Μετά από μια σύντομη υπενθύμιση των εννοιών της ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων και του σημειακού ορίου, ασχοληθήκαμε την πραγμάτευση της έννοιας της σειράς πραγματικών συναρτήσεων. Παρατηρήσαμε ότι μπορούμε να την διαχειριστούμε αναλόγως με τις πραγματικές σειρές, έχοντας στην διάθεση μας την διαδικασία της κατά σημείο μερικής άθροισης και την έννοια του σημειακού ορίου. Έτσι, ορίσαμε την έννοια της σειράς πραγματικών συναρτήσεων ως σημειακό όριο κατάλληλης ακολουθίας μερικών αθροισμάτων. Πρ

Ολοκληρώσαμε το υπόδειγμα τιμολόγησης χρηματοοικονομικού τίτλου. Εκφράσαμε υπό προϋποθέσεις την τιμή ως σειρά των κατάλληλα προεξοφλημένων αποδόσεων. Διερευνήσαμε παραδείγματα της προσέγγισής μας, ένα εκ των οποίων αφορούσε στην μη σύγκλιση κατάλληλης σειράς, ως σχετικό με την έννοια της χρηματοοικονομικής φούσκας. Η περιορισμένη εκφραστικότητα του υποδείγματος συνεπάγονταν στο εν λόγω παράδειγμα τον απειρισμό της τιμής (εξαιτίας της απόκλισης της σειράς των παρουσών αξιών των αποδόσεων), κάτι π

Μέσω παραδείγματος παρατηρήσαμε ότι σε κάποιες περιπτώσεις η φραγή της ΑΜΑ είναι δυνατόν να προκύψει μέσω της κατά σημείο σύγκρισης της παραπάνω με κατάλληλα επιλεγμένη συγκλίνουσα γεωμετρική. Αυτό τελικά μας οδήγησε στην κατασκευή γενικού κριτηρίου το οποίο θα μας πληροφορεί σε κάποιες περιπτώσεις για το αν δεδομένη σειρά υπάρχει μέσω μιας υπολογιστικά "λιγότερο περίπλοκης" διαδιακασίας.

Ξεκινήσαμε να χρησιμοποιούμε την καταχρηστική ορολογία που χρησιμοποιείται γενικότερα στις σχετικές βιβλιογρ

Συνεχίσαμε με το παράδειγμα της αρμονικής σειράς και εκμεταλλευόμενοι την προεργασία που είχαμε κάνει για την προσέγγιση του γενικού όρου της αρμονικής ΑΜΑ από ολοκλήρωμα, δείξαμε ότι η εν λόγω σειρά δεν υπάρχει επειδή η ΑΜΑ αυτής δεν είναι φραγμένη.

Αναφερθήκαμε στο παράδειγμα της εναλλάσουσας αρμονικής η οποία υπάρχει και ισούται με ln(2), και σημειώσαμε ότι τα εννοιολογικά εργαλεία που έχουμε συγκεντρώσει μέχρι τώρα δεν επαρκούν για να εξετάσουμε το τι συμβάινει με αυτό το παράδειγμα•θα μας χ

Στα πλαίσια των γενικών ερωτημάτων πέρι ύπαρξης και εύρεσης δεδομένης σειράς, εξετάσαμε το παράδειγμα της γεωμετρικής σειράς. Παρατηρήσαμε ότι σε αυτό είναι δυνατόν με στοιχειώδεις τρόπους να επιλυθεί η έκφραση του γενικού όρου της σχετικής ΑΜΑ και στην συνέχεια αυτός να εξεταστεί ως προς την σύγκλιση. 

Ξεκινήσαμε την διερεύνηση του παραδείγματος της αρμονικής σειράς συσχετίζοντας τον γενικό όρο της αρμονικής ΑΜΑ με κατάλληλο ολοκλήρωμα. 

Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε ε

Mεταγράψαμε τον αρχικό γεωμετρικό ορισμό του ορίου στον ισοδύναμο του αναλυτικό ορισμό, και είδαμε πως ο τελευταίος εφαρμόζεται σε παραδείγματα και αντιπαραδείγματα. Προχωρήσαμε μέσω της χρήσης του στην διακρίβωση της σχέσης της σύγκλισης με τις αλγεβρικές πράξεις που έχουμε μελετήσει για πραγματικές ακολουθίες.

Παρατηρώντας ότι η χρήση μέρους του λογισμού των ορίων έχει να κάνει με την διευκόλυνση της εξακρίβωσης του ζητήματος σύγκλισης (και ενδεχομένως της συνακόλουθης εύρεσης του ορίου) για α