Θεώρημα 2.4 : Έστω V υπόχωρος του , S = {1 , 2 , . . . , k} βάση του V και έστω V. Το μπορεί να εκφρασθεί ως γραμμικός συνδυασμός των 1 , 2 , . . . , k μ' έναν και μοναδικό τρόπο.
Απόδειξη :
Έστω ότι
= t11 + t22 + . . . + tkk = t΄11 + t΄22 + . . . + t΄kk
οπότε έχουμε
(t1 - t΄1)1 + (t2 - t΄2)2 + . . . + (tk - t΄k)k =
Όμως η διανυσματική εξίσωση
λ11 + λ22 + . . . + λkk =
έχει για μόνη λύση της , την μηδενική, διότι τα 1 , 2 , . . . , k είναι γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα. Άρα
t1 - t΄1 = 0 , t2 - t΄2 = 0 , . . . , tk - t΄k = 0 ,
δηλαδή
t1 = t΄1 , t2 = t΄2 , . . . , tk = t΄k
και επομένως το μπορεί να εκφρασθεί ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων της βάσης μ' έναν και μοναδικό τρόπο.