ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ (Ακ. Έτος 2016-17)

Συμπληρώσαμε την ενασχόληση μας με τα γραμμικά συστήματα παρατηρώντας για παράδειγμα ότι ένα τετραγωνικό nxn ομογενές σύστημα θα έχει μοναδική λύση (αναγκαστικά-γιατί;-την μηδενική) ανν η μήτρα των συντελεστών του έχει βαθμό n, κ.ο.κ. Από την εν λόγω ενασχόληση παρατηρήσαμε ότι η εύρεση των λύσεων γραμμικού συστήματος συνδέεται με την αντιστροφή κατάλληλης μήτρας, οπότε και ασχοληθήκαμε με μέθοδο αντιστροφής τετραγωνικών αντιστρέψιμων μητρών. Οπότε και εξετάσαμε την έννοια της ορίζουσας τετραγωνικής μήτρας, δίνοντας σε αδρές γραμμές μια γεωμετρική ερμηνεία αυτής ως "προσημασμένο στοιχείο n-διάστατου όγκου της μήτρας", τρόπο αναδρομικό υπολογισμού της (μέσω του αναπτύγματος Laplace) και ιδιότητες της (επαυξήσαμε περαιτέρω το θεώρημα ισοδυναμίας του πότε μια τετραγωνική μήτρα είναι αντιστρέψιμη δίνοντας ότι αυτό θα συμβαίνει ανν η ορίζουσα της δεν είναι μηδενική). Στην συνέχεια είδαμε τον τρόπο υπολογισμού της προσάρτημένης σε τετραγωνική μήτρα (adjoint ή adjucate matrix) και μέσω των παραπάνω αποκτήσαμε τρόπο υπολογισμού της αντίστροφης. Είδαμε εφαρμογές σε γραμμικά συστήματα. Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Στην συνέχεια ασχοληθήκαμε με υποκατηγορία τετραγωνικών μητρών όπου η αντιστροφή ταυτίζεται με την αναστροφή, εξετάζοντας τις ορθογώνιες μήτρες. Επισημαίνουμε ότι ανάμεσα στα άλλα οι μήτρες αυτές ως γραμμικοί μετασχηματισμοί έχουν ιδιαίτερη γεωμετρική ερμηνεία, ενώ είδαμε και εφαρμογή στην επίλυση γραμμικών συστημάτων. Σημειώσεις για αυτά μπορείτε να βρείτε εδώ.

Τέλος ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με την έννοια των ιδιοτιμών ως ριζών του χαρακτηριστικού πολυωνύμου τετραγωνικής μήτρας, που προέκυψε από το ερώτημα για το αν υπάρχουν μη μηδενικά διανύσματα για τα οποία ο πολλαπλασιασμός από αριστερά με την δεδομένη μήτρα ισοδυναμεί με πολλαπλασιασμό με βαθμωτό. Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.