Μάθημα : Οικονομετρία ΙΙ

Στην τελευταία διάλεξη συνεχίσαμε την εφαρμογή της θεωρίας των M-εκτιμητών στην κατηγορία των παραμετρικών στατιστικών υποδειγμάτων μέσω της μεθόδου μέγιστης πιθανοφάνειας.

Αρχικά εξετάσαμε, στο πλαίσιο του γραμμικού υποδείγματος με δεσμευμένη ανεξαρτησία των σφαλμάτων, το υπόδειγμα Student-t, επιτρέποντας οι βαθμοί ελευθερίας να είναι είτε γνωστοί είτε άγνωστοι αλλά σταθεροί. Το πλαίσιο αυτό συνεπάγεται δεσμευμένη ομοιογένεια των καινοτομιών και επομένως μια μορφή δεσμευμένης i.i.d. δομής για τα σφάλματα. Εξάχθηκε η αντίστοιχη συνάρτηση πιθανοφάνειας και τονίστηκε ότι, σε αντίθεση με το κλασικό Γκαουσιανό γραμμικό υπόδειγμα, ο MLE δεν συμπίπτει γενικά με τον OLSE, ακόμη και όταν οι βαθμοί ελευθερίας είναι γνωστοί. Συζητήθηκε επίσης η χρησιμότητα τέτοιων υποδειγμάτων σε περιβάλλοντα όπου η δεσμευμένη κατανομή των σφαλμάτων μπορεί να μην διαθέτει επαρκείς ροπές (π.χ. παχείς ουρές), ενώ η παραμετρική εξειδίκευση επιτρέπει παρ’ όλα αυτά την κατασκευή εκτιμητών με κλασικούς ρυθμούς σύγκλισης και ασυμπτωτική κανονικότητα. Το υπόδειγμα γενικεύεται και σε περιπτώσεις δεσμευμένης ετερογένειας, επιτρέποντας την εξάρτηση των βαθμών ελευθερίας από την θέση του εκάστοτε σφάλματος.

Στη συνέχεια εισαγάγαμε την κλάση των υποδειγμάτων περιορισμένης εξαρτημένης μεταβλητής μέσω του υποδείγματος Probit. Η ανάπτυξη ξεκίνησε από τη μικροοικονομική θεμελίωση δυαδικής επιλογής ως σύγκρισης λανθανουσών ωφελειών,
και μέσω της διαφοράς ωφελειών οδηγηθήκαμε σε λανθάνον γραμμικό υπόδειγμα.

Συζητήθηκε το πρόβλημα ταυτοποίησης ως προς την κλίμακα (που επηρεάζει το "μέγεθος" του διανύσματος των παραμέτρων, και την δεσμευμένη διακύμανση των σφαλμάτων) και η συνακόλουθη ανάγκη τυποποίησης της διακύμανσης του σφάλματος. Υπό δεσμευμένη κανονικότητα και δεσμευμένη ανεξαρτησία των σφαλμάτων, κατασκευάστηκε η δεσμευμένη από κοινού διακριτή κατανομή του δείγματος, και από αυτήν εξήχθη η λογαριθμική συνάρτηση πιθανοφάνειας του εν λόγω Probit υποδείγματος. Διαπιστώθηκε η ανάγκη χρήσης αριθμητικών μεθόδων βελτιστοποίησης για την εξαγωγή του MLE.

Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ (δείτε το παράρτημα), εδώ, εδώ και εδώ.