Μάθημα : Οικονομετρία ΙΙ

Τις τελευταίες τρεις διαλέξεις συνεχίσαμε την εξέταση της δομής του εκτιμητή LAD (Least Absolute Deviations). Αρχικά, επισημάναμε ότι η συγκεκριμένη εκδοχή του γραμμικού υποδείγματος μπορεί να έχει αυτόνομο ενδιαφέρον στην οικονομετρία. Για παράδειγμα, μπορεί να χρησιμοποιηθεί όταν το ενδιαφέρον εστιάζεται στον προσδιορισμό της διάμεσου της κατανομής του εισοδήματος υπό συνθήκη ως προς τους ερμηνευτικούς παράγοντες, ή όταν επιδιώκεται ανθεκτικότητα σε περιβάλλοντα όπου η δεσμευμένη κατανομή των σφαλμάτων παρουσιάζει χαρακτηριστικά ως προς τα οποία δεν ικανοποιούνται επαρκώς οι συνθήκες ύπαρξης ροπών.

Στη συνέχεια, προχωρήσαμε στη διατύπωση του δειγματικού προβλήματος βελτιστοποίησης του LAD ως προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού (Linear Programming). Στο πλαίσιο αυτό, εξετάσαμε ευρετικά δύο βασικές κατηγορίες αλγοριθμικών προσεγγίσεων για την επίλυσή του, τη μέθοδο simplex και τις μεθόδους εσωτερικού σημείου (interior point methods). Ιδιαίτερη έμφαση δόθηκε στο γεγονός ότι, ειδικά σε περιπτώσεις όπου το πρόβλημα έχει πολλαπλές λύσεις, η επιλογή του αλγορίθμου επίλυσης μπορεί να επηρεάσει ουσιαστικά το ποια λύση θα επιλεγεί, και άρα να επηρεάσει τον ίδιο τον ορισμό του εκτιμητή. Η παρατήρηση αυτή υποστηρίχθηκε και μέσω ενός απλού Monte Carlo πειράματος.

Στη συνέχεια στραφήκαμε στη μελέτη των γενικών συνθηκών που διαμορφώνουν τη θεωρία ορίων των M-εκτιμητών, ξεκινώντας από την ασθενή συνέπεια. Διακρίναμε δύο βασικές κατηγορίες συνθηκών: (α) κατάλληλη σύγκλιση του δειγματικού κριτηρίου σε ένα οριακό (συνήθως μη στοχαστικό) κριτήριο — όπου η έννοια σύγκλισης που χρησιμοποιήθηκε ήταν η τοπικά ομοιόμορφη σύγκλιση κατά πιθανότητα — και (β) το οριακό κριτήριο να έχει την αληθή τιμή της παραμέτρου ως ευδιάκριτο ελάχιστο. Υπό αυτές τις συνθήκες, κάθε ελαχιστοποιητής του δειγματικού κριτηρίου συγκλίνει στον μοναδικό ελαχιστοποιητή του οριακού, και άρα ο εκτιμητής είναι ασθενώς συνεπής.

Τέλος, εφαρμόσαμε τα παραπάνω στο κλασικό υπόδειγμα OLS, όπου δείξαμε ότι, πέρα από τις συνήθεις υποθέσεις (οι οποίες στην i.i.d. περίπτωση υπόστηριζονται από το νόμο των μεγάλων αριθμών του Kolmogorov), η κυρτότητα του παραμετρικού χώρου είναι επαρκής για τη διασφάλιση της συνέπειας.

Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ. Τον κώδικα (σε Python) για το προαναφερθέν πείραμα, μπορείτε να βρείτε εδώ.