Μάθημα : Οικονομετρία ΙΙ

Συνεχίσαμε την ανάπτυξη της μεθοδολογικής και γεωμετρικής λογικής της οικονομετρικής εκτίμησης, εστιάζοντας αρχικά σε μορφές κανονικοποίησης στο γραμμικό υπόδειγμα. Επισημάνθηκε ότι η γεωμετρία αυτών των κανονικοποιήσεων μπορεί να λειτουργήσει ως μηχανισμός επιλογής ανάμεσα σε πολλαπλές δυνατές λύσεις, κάτι ιδιαίτερα χρήσιμο σε περιβάλλοντα με μεγάλο αριθμό παλινδρομητών σε σχέση με το πλήθος των παρατηρήσεων.

Επιστρέφοντας στο συνήθες πλαίσιο του υποδείγματος χωρίς κανονικοποιητές, δείξαμε ότι όταν ο παραμετρικός χώρος δεν είναι πλήρης, ο περιορισμένος εκτιμητής μπορεί να περιγραφεί ως λύση ενός προβλήματος ελαχιστοποίησης απόστασης από τον απεριορίστο OLS εκτιμητή, γεγονός που δίνει μια καθαρή γεωμετρική ερμηνεία της επίδρασης των περιορισμών.

Στη συνέχεια ξεκινήσαμε τη συστηματική μελέτη του γραμμικού υποδείγματος με οργανικές μεταβλητές. Το κίνητρο ήταν ότι η υπόθεση ισχυρής εξωγένειας των παλινδρομητών μπορεί να αποτυγχάνει ή να είναι μη ρεαλιστική σε αρκετά οικονομετρικά περιβάλλοντα. Εισάγοντας μια μήτρα οργανικών μεταβλητών, κατασκευάσαμε ένα σύστημα συνθηκών ροπών, το οποίο, υπό κατάλληλες συνθήκες τάξης και καλή εξειδίκευση, μηδενίζεται μοναδικά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου. Με αυτόν τον τρόπο περάσαμε από την άμεση ελαχιστοποίηση ενός criterion στην ιδέα της εκτίμησης μέσω εξισώσεων ή, γενικότερα, μέσω δομών στιγμών.

Στο πλαίσιο αυτό (και αφού αναφέραμε εν τάχει την έννοια του Z-estimator) και θέσαμε το ερώτημα πώς μπορεί από ένα σύστημα στιγμών να παραχθεί μια κατάλληλη πληθυσμιακή αντικειμενική συνάρτηση. Τονίστηκε ότι αυτή η κατασκευή εξαρτάται από την επιλογή της έννοιας απόστασης που χρησιμοποιείται για να μετρηθεί η απόκλιση των στιγμών από το μηδέν. Συζητήσαμε ενδεικτικά την απόσταση Chebychev, επισημαίνοντας ότι οδηγεί σε μη παραγωγισιμότητα και άρα σε πρόσθετες τεχνικές δυσκολίες. Κατόπιν εστιάσαμε στις αποστάσεις τύπου Mahalanobis — ακριβέστερα στα τετράγωνά τους — που οδηγούν στη γενική μορφή της αντικειμενικής συνάρτησης και εισάγουν τον κρίσιμο ρόλο της μήτρας στάθμισης.

Τέλος, κατασκευάσαμε τα δειγματικά ανάλογα των αντίστοιχων πληθυσμιακών κριτηρίων και είδαμε ότι, όταν ο παραμετρικός χώρος είναι πλήρης, η αναλυτική βελτιστοποίηση δίνει κλειστή μορφή για τον σχετικό εκτιμητή. Παρατηρήσαμε όμως ότι η δομή του υποδείγματος δεν υποστηρίζει γενικά αμεροληψία, και άρα ο εκτιμητής δεν είναι κατά κανόνα αμερόληπτος. Το σημείο αυτό υπογράμμισε ξανά μια βασική αρχή του μαθήματος: οι στοχαστικές ιδιότητες ενός εκτιμητή δεν είναι αυτονόητες, αλλά απορρέουν μεταξύ άλλων από τη δομή του υποδείγματος.

Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.