Στατιστική ΙΙ

Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας με την έννοια της αθροιστικής και εξάγαμε ιδιότητες που προκύπτουν από τις τρεις χαρακτηριστικές ιδιότητες της, όπως π.χ. ότι η αθροιστική θα είναι ασυνεχής σε σημείο ανν η κατανομή αποδίδει αυστηρά θετική πιθανότητα στο σύνολο που αποτελείται από αυτό το μεμονωμένο σημείο, ή ότι αυτή είναι γνησίως αύξουσα στο στήριγμα και κατά τμήματα σταθερή εκτός του στηρίγματος. Είδαμε παραδείγματα του πως είναι δυνατόν να υπολογίζουμε μέσω της αθροιστικής την πιθανότητα που η κατανομή αποδίδει μετρήσιμα υποσύνολα των πραγματικών όταν αυτά 'εχουν διάφορες μορφές. Πρόχειρες σημειώσεις για αυτά μπορείτε να βρείτε εδώ.

Χρησιμοποιώντας την έννοια της αθροιστικής συνάρτησης περιγράψαμε περαιτέρω παραδείγματα κατανομών πιθανότητας στους πραγματικούς. Πρόχειρες σημειώσεις για αυτά μπορείτε να βρείτε εδώ. Μέσω των παραδείγματων αυτά, παρατηρήσαμε ανάμεσα στα άλλα:

1. Eίναι δυνατόν μια κατανομή να αποδίδει μηδενική πιθανότητα σε μονοσύνολο που αποτελείται από κάποιο στοιχείο του στηρίγματός της (αυτό είναι δυνατόν να συμβαίνει σε κάθε μονοσύνολο που αποτελείται από όποιο στοιχείο του στηρίγματος, όπως δείχνουν τα παραδείγματα της ομοιόμορφης, της εκθετικής και της κανονικής κατανομής). Προφανώς κάτι τέτοιο είναι αδύνατον για διακριτές κατανομές (γιατί;).
2. Ο ορισμός που έχουμε υιοθετήσει για το πότε μια κατανομή θεωρείται συνεχής, αφορά στην "τοπολογική" μορφή του supp και όχι στο αν η αθροιστική της είναι συνεχής συνάρτηση. Έτσι, π.χ. είδαμε παράδειγμα συνεχούς κατανομής που έχει αθροιστική που εμφανίζει ασυνέχεια. Αναλόγως είδαμε παραδείγματα συνεχών κατανομών με συνεχείς αθροιστικές.
3. Κατασκευάσαμε παράδειγμα όπου το στήριγμα είναι η ένωση ενός διακριτού υποσυνόλου των πραγματικών και ενός διαστήματος ξένου ως προς το προηγούμενο. Αυτό προφανώς είναι παράδειγμα κατανομής που δεν είναι ούτε διακριτή, ούτε συνεχής.
4. Χωρίς ιδιαίτερη αυστηρότητα παρατηρήσαμε ότι κάποιες κατανομές είναι δυνατόν να προκύπτουν "ως οριακές περιπτώσεις" άλλων παίρνοντας κατάλληλα όρια στις ανάλογες αθροιστικές.