Στατιστική ΙΙ

Προχωρήσαμε στον ορισμό της κατανομής πιθανότητας, ως πραγματικής συνολοσυνάρτησης ορισμένης στην εκάστοτε συλλογή από μετρήσιμα υποσύνολα, η οποία συνάρτηση ικανοποιεί τις ιδιότητες του θετικά ορισμένου, της τυποποίησης και της προσθετικότητας. 

Συνεχίσαμε, χρησιμοποιώντας την προεργασία μας, με την εξαγωγή περαιτέρω ιδιοτήτων των κατανομών, όπως η μονοτονία, και παρατηρήσαμε ότι  κάποιες από αυτές είναι δυνατόν να ερμηνευθούν ως ικανές συνθήκες υπό τις οποίες η εκάστοτε κατανομή μετασχηματίζει συνολοθεωρητικές πράξεις σε ”αντίστοιχες” πράξεις μεταξύ πραγματικών αριθμών.

Εξετάσαμε τις έννοιες των αμελητέων συνόλων και των δυικών τους συνόλων πλήρους πιθανότητας, και είδαμε ότι τα τελευταία μπορούν να χρησιμοποιούνται προκειμένου να εκφράζονται οι πιθανότητες που αποδίδονται από την κατανομή ως προς αυτά, κάτι που είναι δυνατόν να διευκολύνει την περιγραφή κατανομής πιθανότητας σε κάποιες περιπτώσεις (όπως θα δούμε στην συνέχεια μέσω της έννοιας του στηρίγματος μιας κατανομής επί των πραγματικών). Παρατηρήσαμε ότι στην σχετική μελέτη μας διευκόλυνε η ιδιότητα της μονοτονίας για τις κατανομές πιθανότητας. 

Εξετάσαμε παραδείγματα και αντιπαραδείγματα σχετικά και με τα παραδείγματα συνολοσυναρτήσεων που είχαμε ήδη εξετάσει.

Συνεχίσαμε με την κατασκευή και ανάλυση παραδειγμάτων που καταρχάς εμπλέκουν πεπερασμένα σύνολα αναφοράς. Παρατηρήσαμε ότι όταν ένας μετρήσιμος χώρος είναι τετριμμένος (δηλαδή το Ω έχει μόνο ένα στοιχείο) τότε μόνο μία (εκφυλισμένη) κατανομή πιθανότητας είναι δυνατόν να ορίζεται σε αυτόν. Περνώντας στο αμέσως πολυπλοκότερο παράδειγμα, αυτό όπου το Ω έχει δύο στοιχεία, παρατηρήσαμε ότι είναι δυνατόν να ορίζονται πολύ περισσότερες κατανομές πιθανότητας. Εξαιτίας αυτού προκύπτει το στατιστικό πρόβλημα.

Παρατηρήσαμε ότι όταν α. επιθυμούμε να ενισχύσουμε την ιδιότητα της προσθετικότητας ώστε να ισχύει και για αριθμήσιμες (δηλαδή με πλήθος όχι μεγαλύτερο του πλήθους των φυσικών) ενώσεις ανά δύο ξένων μεταξύ τους υποσυνόλων του Ω και β. το σύνολο αναφοράς είναι απειροπληθές, τότε είναι δυνατόν να υπάρχουν υποσύνολα του στα οποία δεν μπορούν με συνεπή τρόπο να αποδοθούν πιθανότητες (μη μετρησιμότητα). Το α. μας είναι χρήσιμο επειδή συνεπάγεται χρήσιμες περαιτέρω ιδιότητες για τις κατανομές που βοηθούν στην αναλυτική μελέτη τους, και ονομάζεται αριθμήσιμη προσθετικότητα.

Προκειμένου να ξεπεραστεί η δυσκολία της μη μετρησιμότητας, το πεδίο ορισμού της κατανομής επιτρέπεταινα είναι υποσυλλογή του δυναμοσυνόλου, που θα αποτελείται από τα μετρήσιμα-δηλ. αυτά στα οποία μπορούν και είναι επιθυμητό να αποδοθούν πιθανότητες, υποσύνολά του. Αυτή η υποσυλλογή θα είναι κλειστή ως προς μικρά, δηλαδή αριθμήσιμα, πλήθη συνολοθεωρητικών πράξεων. Όταν το σύνολο αναφοράς είναι πεπερασμένο μπορεί να επιλεγεί να είναι το δυναμοσύνολο, ενώ σε σύνολα αναφοράς όπως οι πραγματικοί, μπορεί να επιλεγεί ώστε να περιέχει όλα τα "οικεία" σε εμάς υποσύνολα των πραγματικών. Αποκτήσαμε έτσι την έννοια του μετρήσιμου χώρου.

Καταλήξαμε με το ερώτημα του αν οι κατανομές πιθανότητας επί των πραγματικών μπορούν να περγράφονται γενικά χρησιμοποιώντας άμεσα τα παραπάνω, ή είναι αναγκαίο από αυτά να προκύπτουν αλλά αναλυτικά εργαλέια που μας βοηθούν στην περιγραφή τους.

Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ, εδώ  και εδώ.

Τους πίνακες των εξ' αποστάσεως διαλέξεων μπορείτε να βρείτε εδώ.

Το αρχείο που περιέχει το βίντεο της συμπληρωματικής διάλεξης  μπορείτε να βρείτε εδώ.

Άσκηση: Είναι δυνατόν η ανισότητα της υποπροσθετικότητας να ισχύει και ως ισότητα ακόμη και στην περίπτωση που τα εμπλεκόμενα στην ένωση σύνολα δεν είναι ξένα μεταξύ τους; Μπορείτε να τεκμηριώσετε την απάντηση σας χρησιμοποιώντας μόνο την περίπτψση που η ένωση αποτελείται από δύο παράγοντες.