Στατιστική ΙΙ

Δεδομένης της προεργασίας μας με στοιχεία της θεωρίας συνόλων, συνεχίσαμε ορίζοντας την έννοια της πραγματικής συνολοσυνάρτησης ως συνάρτησης που ορίζεται στο δυναμοσύνολο (ή σε υποσυλλογή αυτού) και δίνει πραγματικές τιμές, και εξετάσαμε παραδείγματα και αντιπαραδείγματα. Παρατηρήσαμε ότι σε παραδείγματα όπως αυτό της πραγματικής ευθείας η περιγραφή τέτοιων συναρτήσεων είναι γενικά δύσκολη, οπότε είναι δυνατόν να μας χρειάζονται απλούστερες αναπαραστάσεις τους, παρόλο που διατυπώσαμε παράδειγμα που περιγράφεται εύκολα.

Αναμένουμε ότι κατανομή πιθανότητας θα είναι πραγματική συνολοσυνάρτηση με ιδιότητες που α. συνάδουν με την διαίσθηση μας για τις διαδικασίες μέτρησης, και β. αποδίδουν στην κατανομή επιθυμητές αναλυτικές ιδιότητες. Παρατηρήσαμε ότι όταν το σύνολο αναφοράς είναι απειροπληθές, τότε είναι δυνατόν να υπάρχουν υποσύνολα του στα οποία δεν μπορούν με συνεπή τρόπο να αποδοθούν πιθανότητες αν επιμένουμε στο β. Προκειμένου να διεκολυνθούμε στα παρακάτω, αναφερθήκαμε περιγραφικά στην έννοια της πληθικότητας ενός συνόλου, παρατηρώντας ότι τα πεπερασμένα σύνολα αλλά και κάποια απειροσύνολα όπως οι φυσικοί, έχουν μικρό (ή αλλιώς αριθμήσιμο) πλήθος στοιχείων, συγκρινόμενα με απειροσύνολα όπως οι πραγματικοί.

Το πεδίο ορισμού της κατανομής θα είναι δυνατόν να είναι υποσυλλογή του δυναμοσυνόλου, που θα αποτελείται από τα μετρήσιμα-δηλ. αυτά στα οποία μπορούν και είναι επιθυμητό να αποδοθούν πιθανότητες, υποσύνολά του. Αυτή η υποσυλλογή θα είναι κλειστή ως προς μικρά, δηλαδή αριθμήσιμα, πλήθη συνολοθεωρητικών πράξεων. Όταν το σύνολο αναφοράς είναι πεπερασμένο μπορεί να επιλεγεί να είναι το δυναμοσύνολο, ενώ σε σύνολα αναφοράς όπως οι πραγματικοί, μπορεί να επιλεγεί ώστε να περιέχει όλα τα "οικεία" σε εμάς υποσύνολα των πραγματικών. Αποκτήσαμε έτσι την έννοια του μετρήσιμου χώρου.

Δεδομένου του παραπάνω, προχωρήσαμε στον ορισμό της κατανομής πιθανότητας, ως πραγματικής συνολοσυνάρτησης ορισμένης στην εκάστοτε συλλογή από μετρήσιμα υποσύνολα, η οποία συνάρτηση ικανοποιεί τις ιδιότητες του θετικά ορισμένου, της τυποποίησης και της αριθμήσιμης προσθετικότητας. Οι ιδιότητες αυτές συνάδουν με το α. παραπάνω καθώς (ιδιαίτερα η τρίτη) και με το β. αφού εξαιτίας αυτών οι κατανομές αποκτούν χρήσιμες αναλυτικές ιδιότητες.

Εξετάσαμε παραδείγματα και αντιπαραδείγματα σχετικά και με τα παραδείγματα συνολοσυναρτήσεων που είχαμε ήδη εξετάσει. Παρατηρήσαμε ότι ακόμη και στην περίπτωση των πραγματικών και της δυσκολίας περιγραφής που είδαμε παραπάνω, υπάρχουν κατανομές που περιγράφονται εύκολα επειδή οι υπολογισμοί των πιθανοτήτων που αποδίδουν γίνονται βάσει μικρών πληθών από κριτήρια, οπότε και αποκτήσαμε μια πρώτη αίσθηση των διακριτών κατανομών στους πραγματικούς.

Συνεχίσαμε, χρησιμοποιώντας την προεργασία μας, με την εξαγωγή περαιτέρω ιδιοτήτων των κατανομών, όπως η μονοτονία, και παρατηρήσαμε ότι  κάποιες από αυτές είναι δυνατόν να ερμηνευθούν ως ικανές συνθήκες υπό τις οποίες η εκάστοτε κατανομή μετασχηματίζει συνολοθεωρητικές πράξεις σε ”αντίστοιχες” πράξεις μεταξύ πραγματικών αριθμών.

Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ, εδώ, εδώ  και εδώ.