Στατιστική ΙΙ

Σκοπός του μαθήματος είναι η περαιτέρω αυστηρή μαθηματική θεμελίωση εννοιών της θεωρίας πιθανοτήτων και διαδικασιών στατιστικής επαγωγής. Παιδαγωγικά μέσω της εν λόγω θεμελίωσης γίνεται ευχερής η ορισμός, η επέκταση και η κατανόηση των ιδιοτήτων περισσότερο περίπλοκων διαδικασιών όπως αυτές που θα συναντηθούν στα μετέπειτα μαθήματα της Οικονομετρίας.

Ως στατιστική επαγωγή νοείται το σύνολο των διαδικασιών επίλυσης του στατιστικού προβλήματος. Στατιστικό ονομάζεται όποιο πρόβλημα αφορά στην εύρεση άγνωστης κατανομής πιθανότητας σε κάποιο χώρο πιθανότητας δεδομένης της διαθεσιμότητας δείγματος που εμπεριέχει πληροφορία για αυτή. Η άγνωστη αυτή κατανομή θεωρείται ότι περιγράφει πιθανοκρατικά κάποιο φαινόμενο το οποίο μας ενδιαφέρει να εξηγήσουμε. Υπενθυμίζεται ότι ως περιγραφική στατιστική ορίζεται ως η σύλλογή διαδικασιών που συνοψίζουν πληροφοριακά το διαθέσιμο δείγμα.

Βάσει του παραπάνω είναι καταρχάς αναγκαία η περαιτέρω διερεύνηση εννοιών που προκύπτουν στη θεωρία πιθανοτήτων, καθώς η στατιστική επαγωγή είναι δυνατόν να θεωρηθεί ως κατά κάποιο τρόπο δυϊκή της θεωρίας πιθανοτήτων. Παραδείγματα τέτοιων εννοιών, είναι αυτή της κατανομής πιθανότητας ως κατάλληλης (σύνολο-) συνάρτησης, των τρόπων αναπαράστασης αυτής από περισσότερο οικείες έννοιες (π.χ. αθροιστικές συναρτήσεις, συναρτήσεις πυκνότητας που οποίες είναι "απλώς" πραγματικές συναρτήσεις με συγκεκριμένες ιδιότητες), της κατανομής πιθανότητας ως διαδιακασίας ολοκλήρωσης, της τυχαίας μεταβλητής κ.ο.κ.

Οι έννοιες αυτές έχουν αυτόνομο ενδιαφέρον καθώς δεν συναντώνται μόνο σε ζητήματα στατιστικής επαγωγής (τα οποία θα αντιμετωπίσετε και σε μαθήματα όπως η Οικονομετρία Ι και ΙΙ) αλλά και σε ζητήματα που αφορούν στην μαθηματική αναπαράσταση της αβεβαιότητας και στην χρήση αυτής στα πλαίσια της οικονομικής θεωρίας (και συνεπώς θα σας επιτρέψουν να αντιμετωπίσετε ζητήματα που ανακύπτουν σε μαθήματα που αναφέρονται π.χ. σε ζητήματα βέλτιστης επιλογής, παίγνια, μακροοικονομικά υποδείγματα, κ.ο.κ., σε συνθήκες αβεβαιότητας).

Στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τις προηγούμενες κατασκευές, θα αποκτήσουμε τη δυνατότητα να περιγράψουμε με σχετική ακρίβεια το τι συνιστά το στατιστικό πρόβλημα, το πως δομούνται διαδικασίες στατιστικής επαγωγής (εκτιμητικής ή/και ελέγχου υποθέσεων) και πως προκύπτουν ιδιότητες τους, στα πλαίσια της θεωρίας πιθανοφάνειας, στο υπόβαθρο της διαθεσιμότητας δείγματος που αποτελείται από iid τυχαίες μεταβλητές.

Θα μας χρειαστούν έννοιες που προκύπτουν στα πλαίσια της μαθηματικής ανάλυσης (όπως π.χ. συνέχεια, παραγωγισιμότητα, μονοτονία, ολοκλήρωση πραγματικών συναρτήσεων), της θεωρίας βελτιστοποίησης ("αρκούντως ομαλών") πλειομεταβλητών πραγματικών συναρτήσεων (μέσω συνθηκών πρώτης και δεύτερης τάξης) και συνακόλουθα της γραμμικής άλγεβρας (όπως π.χ. ορισμένες συμμετρικές μήτρες, ιδιοτιμές  κ.ο.κ.). Κάποιες βασικές έννοιες συνολοθεωρίας θα επισημανθούν όταν χρειαστούν στις αμέσως επόμενες διαλέξεις, ενώ άλλες αναλυτικές έννοιες, όπως π.χ. οι έννοιες της σειράς και της δυναμοσειράς θα επισημανθούν και χρησιμοποιηθούν όταν χρειαστεί χωρίς εξαντλητική διερεύνηση τους.

Συνδυάστε τα παραπάνω με την ανάρτημένη σύνοψη του μαθήματος.

Στην συνέχεια, ξεκινήσαμε το πρώτο μέρος του μαθήματος που άπτεται της εξέτασης βασικών εννοιών στην θεωρία πιθανοτήτων. Παρατηρήσαμε ότι το βασικό αντικείμενο της θεωρίας, δηλαδή η κατανομή πιθανότητας (δείτε και εδώ) μπορεί σε αδρες γραμμές να περιγραφεί ως μηχανισμός απόδοσης μεγέθους (ή ισοδύναμα μέτρησης) σε "κομμάτια" δεδομένου συνόλου, δηλαδή ως συνολοσυνάρτηση με πεδίο ορισμού κατάλληλη συλλογή από σύνολα, που ικανοποιεί  ιδιότητες σχετικές με διαδικασίες μέτρησης.

Προκειμένου να καταλάβουμε το πως κατασκευάζεται αυτή η συλλογή και πως η έννοια της κατανομής πιθανότητας "αλληλεπιδρά" με τις συνολοθεωρητικές πράξεις θυμηθήκαμε εν μέρει και κυρίως περιφραστικά, κάποιες βασικές έννοιες από την θεωρία συνόλων, που άπτονται στα εξής:

• στην έννοια του δυναμοσυνόλου, ως την συλλογή από όλα τα δυνατά υποσύνολα δεδομένου συνόλου αναφοράς. Παρατηρήσαμε ότι η "πολυπλοκότητα" αυτής της συλλογής αυξάνεται με το πλήθος των στοιχείων του συνόλου αναφοράς.
• Στις συνολοθεωρητικές πράξεις όπως η ένωση, η τομή και η διαφορά, στο πως είναι δυνατόν αυτές να παράγουν την έννοια του συμπληρώματος. Kαταλήξαμε στην ταυτότητα , που ισχύει για οποιαδήποτε Α,Β υποσύνολα του συνόλου αναφοράς, και χρησιμέυει στο να παραγοντοποεί το Α ως ένωση ξένων μεταξύ τους "κομματιών", και συνεπώς μπορεί να είναι επιβοηθητική σε διαδικασίες μέτρησης.
• στην έννοια της (πραγματικής) συνολοσυνάρτησης επί συνόλου αναφοράς, ως συνάρτηση που ορίζεται επί του δυναμοσυνόλου (ή σε κάποια υποσυλλογή αυτού) του συνόλου αναφοράς και μας δίνει πραγματικές τιμές. Θα δούμε ότι και οι κατανομές πιθανότητας είναι τέτοιες συνολοσυναρτήσεις με κάποιες ιδιαίτερες ιδιότητες.  

Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ (επίσης εδώ μπορείτε να βρείτε σημειώσεις σε έννοιες της συνολοθεωρίας οι οποίες όμως εκφεύγουν κατά πολύ του μαθήματος στην μεγαλύτερη έκταση τους).