Στατιστική ΙΙ

Χρησιμοποιώντας την έννοια της αθροιστικής συνάρτησης περιγράψαμε περαιτέρω παραδείγματα κατανομών πιθανότητας στους πραγματικούς. Πρόχειρες σημειώσεις για αυτά μπορείτε να βρείτε εδώ. Μέσω των παραδείγματων αυτά, παρατηρήσαμε ανάμεσα στα άλλα:

1. Eίναι δυνατόν μια κατανομή να αποδίδει μηδενική πιθανότητα σε μονοσύνολο που αποτελείται από κάποιο στοιχείο του στηρίγματός της (αυτό είναι δυνατόν να συμβαίνει σε κάθε μονοσύνολο που αποτελείται από όποιο στοιχείο του στηρίγματος, όπως δείχνουν τα παραδείγματα της ομοιόμορφης, της εκθετικής και της κανονικής κατανομής). Προφανώς κάτι τέτοιο είναι αδύνατον για διακριτές κατανομές (γιατί;).
2. Ο ορισμός που έχουμε υιοθετήσει για το πότε μια κατανομή θεωρείται συνεχής, αφορά στην "τοπολογική" μορφή του supp και όχι στο αν η αθροιστική της είναι συνεχής συνάρτηση. Έτσι, π.χ. είδαμε παράδειγμα συνεχούς κατανομής που έχει αθροιστική που εμφανίζει ασυνέχεια. Αναλόγως είδαμε παραδείγματα συνεχών κατανομών με συνεχείς αθροιστικές.
3. Κατασκευάσαμε παράδειγμα όπου το στήριγμα είναι η ένωση ενός διακριτού υποσυνόλου των πραγματικών και ενός διαστήματος ξένου ως προς το προηγούμενο. Αυτό προφανώς είναι παράδειγμα κατανομής που δεν είναι ούτε διακριτή, ούτε συνεχής.
4. Χωρίς μαθηματική αυστηρότητα είδαμε ότι κάποιες κατανομές είναι δυνατόν να προκύπτουν "ως οριακές περιπτώσεις" άλλων παίρνοντας κατάλληλα όρια στις ανάλογες αθροιστικές.
5. Είδαμε ότι υπάρχει περίπτωση η αθροιστική να έχει την μορφή ολοκληρώματος. Μέσω αυτής της παρατήρησης θα οδηγηθούμε στην έννοια της συνάρτησης πυκνότητας.