Στατιστική ΙΙ

Συνεχίσαμε τους υπολογισμούς που αφορούσαν σε ροπές, εξετάζοντας παραδείγματα διωνυμικών και κανονικών κατανομών όπως και το παράδειγμα της τυπικής κατανομής Cauchy, για την οποία δείξαμε ότι δεν υπάρχει καμμία ροπή πέραν αυτής της μηδενικής τάξης. Για το τελευταίο ήταν αρκετό να δείξουμε ότι δεν υπάρχει ως πραγματικός αριθμός η απόλυτη ροπή πρώτης τάξης (γιατί;).

Στα παραδείγματα που αφορούσαν στην οικογένεια των κανονικών κατανομών παρατηρήσαμε ότι και εδώ οι υπολογισμοί είναι δυνατόν να ενέχουν πολλές πράξεις, ότι αυτοί διευκολύνονται από τον υπολογισμό κατάλληλων ολοκληρωμάτων ως προς την τυπική κανονική κατανομή και ότι και εδώ αναδεικνύονται σχέσεις μεταξύ ροπών διαφορετικής τάξης. Επίσης διακρίναμε στο παράδειγμα της τυπικής κανονικής κατανομής την διαφορά μεταξύ ροπών και απολύτων ροπών ίδιας περιττής τάξης.

Παρατηρήσαμε τέλος ότι ο κατάλογος των ροπών μιας κατανομής πιθανότητας, δεν χαρακτηρίζει γενικά την κατανομή, είτε επειδή για κάποια τάξη η ανάλογη ροπή δεν υπάρχει, είτε επειδή ακόμη και όταν υπάρχουν οι ροπές κάθε τάξης η συμπεριφορά τους καθώς η τάξη μεγαλωνεί δεν είναι η κατάλληλη ώστε να επιτρέπει τον χαρακτηρισμό. Το ζήτημα της διατύπωσης ικανών και αναγκάιων συνθηκών για την αναπαράσταση κατανομής ως από τις ροπές της, θα αποσαφηνιστεί μέσω της έννοιας της ροπογεννήτριας συνάρτησης με την οποία θα ασχοληθούμε στις τελευταίες διαλέξεις του μαθήματος. 

Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.