Στατιστική ΙΙ

Συνεχίσαμε με περαιτέρω ιδιότητες της συνάρτησης πυκνότητας, και παρατηρήσαμε ότι αν συνάρτηση με πεδία ορισμού και τιμών τους πραγματικούς είναι μη αρνητική και το ολοκλήρωμα αυτής επί της πραγματικής ευθείας υπάρχει και ισούται με ένα, τότε αυτή αποτελεί συνάρτηση πυκνότητας μοναδικής κατανομής στους πραγματικούς.

Συνεχίσαμε εξετάζοντας παραδείγματα κατανομών που έχουν συναρτήσεις πυκνότητας. Έτσι π.χ. στα πλαίσια του παραδείγματος της εκθετικής κατανομής και εξαιτίας της μη παραγωγισιμότητας της αθροιστικής στο 0, προέκυψε η μη μοναδικότητα της συνάρτησης πυκνότητας. Παρατηρήσαμε ότι η συμβατική εκδοχή της συνάρτησης πυκνότητας είναι και η μοναδική για την οποία έχουμε συνέχεια της πυκνότητας στο στήριγμα. Ανάλογους συλλογισμούς εξετάσαμε στα πλαίσια του παραδείγματος της ομοιόμορφης κατανομής. 

Στην συνέχεια, ξεκινήσαμε την (αναγκαστικά ελλειπή) μελέτη της αναπαράστασης κατανομής πιθανότητας στους προγματικούς ως διαδικασίας ολοκλήρωσης κατάλληλων συναρτήσεων, παραθέσαμε ορισμούς και ιδιότητες και ξεκινήσαμε την ενασχόληση με υπολογισμούς σε διάφορα παραδείγματα, φθάνοντας μέχρι και το παράδειγμα της εκθετικής κατανομής ως προς την οποία είδαμε ότι η εκθετική συνάρτηση δεν είναι ολοκληρώσιμη όταν η παράμετρος της κατανομής είναι μικρότερη ή ίση του ένα, αποκτώντας έτσι και ένα παράδειγμα μη ολκληρωσιμότητας.

Και για την έννοια της ολοκλήρωσης, ισχύει ότι για την πλήρη κατανόηση της απαιτεί την έννοια ολοκλήρωσης κατά Lebesgue-Stieljes από την μαθηματική ανάλυση οι οποία δεν μας είναι επίσης διαθέσιμη και προφανώς βρίσκεται εκτός του εύρους του μαθήματος.

Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Ασκήσεις:

1. Στα παραδείγματα της ομοιόμορφης και της εκθετικής κατανομής να βρεθούν μέσω των συναρτήσεων πυκνότητας που έχουμε εξάγει οι αντίστοιχες αθροιστικές συναρτήσεις.

2. Χρησιμοποιώντας την έννοια της συνάρτησης τόξο εφαπτομένη (τοξεφ-arctan)-δείτε εδώ, να δείξετε ότι η συνάρτηση 

είναι καλώς ορισμένη συνάρτηση πυκνότητας, και συνεπώς αναπαριστά μοναδική κατανομή στους πραγματικούς (η οποία ονομάζεται τυπική κατανομή Cauchy-standard Cauchy distribution).