Στατιστική ΙΙ

Προχωρήσαμε σε πρόχειρη (και όχι ιδιαίτερα ακριβή) ταξινόμηση των κατανομών πιθανότητας ανάλογα με ιδιότητες των στηριγμάτων αυτών. Η ταξινόμηση είναι αναγκαστικά ανακριβής επειδή η ακρίβεια απαιτεί εμβάθυνση στην τοπολογία των πραγματικών αριθμών, κάτι εκτός του εύρους του μαθήματος. Έτσι διακρίναμε τις μη διακριτές κατανομές σε α) συνεχείς, ως αυτές που έχουν ως στήριγμα κλειστό διάστημα ή ένωση κλειστών διαστημάτων, β) μεικτές, αυτές των οποίων το στήριγμα είναι ξένη ένωση μεταξύ κλειστού διαστήματος (ή ένωσης τέτοιων) με διακριτό υποσύνολο των πραγματικών, γ) ιδιάζουσες, αυτές των οποίων το στήριγμα δεν εμπίπτει σε καμμία από τις παραπάνω περιπτώσεις (δείτε π.χ. το σύνολο Cantor, και συνακόλουθα την κατανομή Cantor), και δ) περαιτέρω αναμείξεις μεταξύ των α, β και γ.

Εφόσον η ευκολία περιγραφής των διακριτών δεν ισχύει για τις α, β, γ, και δ,  και ξεκινώντας την προσπάθεια μας για αναπαράσταση όποιας κατανομής πιθανότητας στους πραγματικούς από κατάλληλες και οικείες έννοιες ώστε να αποφεύγεται ο δύσχρηστος ορισμός, ξεκινήσαμε την εξέταση της έννοιας της αθροιστικής συνάρτησης. Δεδομένου του ορισμού και του καλώς  ορισμένου της έννοιας, αναφερθήκαμε σε σε απλά παραδείγματα, και σε θεώρημα χαρακτηρισμού που απαριθμεί τις χαρακτηριστικές της ιδιότητες, και δείχνει ότι η αθροιστική αναπαριστά την κατανομή της "τέλεια".

Σκιαγραφήσαμε την απόδειξη του πρώτου μέρους του θεωρήματος χαρακτηρισμού. Κάποιες από τις ιδιότητες της αθροιστικής προκύπτουν από την χρήση μιας ιδιότητας συνέχειας της κατανομής που είναι εκτός του εύρους του μαθήματος και σχετίζεται με την "μικρού πλήθους" προσθετικότητα. Θεωρώντας δεδομένο το τι συνεπάγεται αυτή η ιδιότητα συνέχειας σε κάθε σχετική περίπτωση δείξαμε το πως προκύπτουν οι χαρακτηριστικές ιδιότητες της αθροιστικής συνάρτησης.

Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας εξάγωντας (όχι εξαντλητικά και χωρίς ιδιαίτερη σχολαστικότητα) περαιτέρω ιδιότητες που είναι δυνατόν να έχει η αθροιστική συνάρτηση και οι οποίες προφανώς θα αντανακλούν πιστά σχετικές ιδιότητες της κατανομής. Έτσι π.χ. είδαμε ότι η αθροιστική θα είναι ασυνεχής σε σημείο ανν η κατανομή αποδίδει αυστηρά θετική πιθανότητα στο σύνολο που αποτελείται από αυτό το μεμονωμένο σημείο. Αυτό μας οδήγησε στο συμπέρασμα ότι η συνάρτηση θα είναι αναγκαστικά συνεχής εκτός του στηρίγματος, ενώ αν έχει ασυνέχειες αυτές θα έχουν την μορφή θετικού άλματος και θα εντοπίζονται αναγκαστικά σε στοιχεία του στηρίγματος.

Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.