Στατιστική ΙΙ

Συνεχίζοντας την ενασχόληση μας με τις διακριτές κατανομές, και εξάγωντας τις σχετικές διότητες, παρατηρήσαμε ότι για την περιγραφή τους αρκεί να δοθεί το στήριγμα και η πιθανότητα που αποδίδεται στα μονοσύνολα που αποτελούνται από τα στοιχεία του στηρίγματος. Αυτό εξαιτίας της διακριτότητας του στηρίγματος, και συνεπώς του αριθμήσιμου πλήθους των στοιχείων του, ο υπολογισμός της πιθανότητας που αποδίδεται από τέτοια κατανομή σε μετρήσιμο υποσύνολο των πραγματικών, συνίσταται στον έλεγχο αριθμήσιμου πλήθους κριτηρίων για το ποιά στοιχεία του στηρίγματος βρίσκονται στο εν λόγω σύνολο και προκύπτει από το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των στοιχείων.

Παρατηρήσαμε ότι κάθε τέτοια περιγραφή θα αποδίδει μια καλώς ορισμένη διακριτή κατανομή εφόσον α) το δεδομένο στήριγμα είναι διακριτό, β) σε κάθε στοιχείο του στηρίγματος (αυστηρότερα, σε κάθε μονοσύνολο που αποτελείται από στοιχείο του στηρίγματος) αποδίδεται αυστηρά θετική πιθανότητα και γ) η πιθανότητα που αποδίδεται στο δεδομένο στήριγμα ισούται με ένα. Το β) προκύπτει από  θεώρημα που αποδείξαμε που λέει ότι για διακριτή κατανομή, η πιθανότητα που αυτή αποδίδει στο σύνολο {x} θα είναι αυστηρά θετική ανν το x ανήκει στο στήριγμα της κατανομής. Παρόλο που είδαμε ότι το (=>) μέρος του προηγούμενου ισχύει για κάθε κατανομή στους πραγματικούς, το (<=) είναι ιδιότητα που αναγκαστικά έχουν οι διακριτές, ενώ όπως θα δούμε υπάρχουν μη διακριτές κατανομές που αποδίδουν μηδενική πιθανότητα και σε κάθε στοιχείο του στηρίγματος. 

Δεδομένων αυτών ασχοληθήκαμε με την εξέταση παραδειγμάτων (οικογενειών) διακριτών κατανομών. Τα παραδείγματά μας αφορούσαν στις εκφυλισμένες κατανομές, στις κατανομές Bernoulli, στις διωνυμικές κατανομές και στις κατανομές Poisson.

Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Ασκήσεις

1. Στο παραπάνω θεώρημα είδαμε ότι αν η P διακριτή, τότε αν το x είναι στοιχείο του supp αυτής, P({x})>0. Ισχύει το αντίστροφο; (δηλαδή, αν για κάθε  x στο supp της P ισχύει ότι P({x})>0, είναι η P διακριτή;)
2. Έστω n πραγματικοί αριθμοί, με n>1. Να οριστεί η διακριτή κατανομή που ως στήριγμα έχει το σύνολο από αυτούς τους αριθμούς και σε κάθε έναν από αυτούς αποδίδει ακριβώς την ίδια πιθανότητα (μια τέτοια κατανομή θα μπορύσε να ονομαστεί και ως διακριτή ομοιόμορφη). Αποτελεί αυτή ειδική περίπτωση κάποιας από τις τέσσερις οικογένειες που αναφέρονται παραπάνω;