Στατιστική ΙΙ

Ξεκινήσαμε παρατηρώντας ότι το δυναμοσύνολο είναι κλειστό ως προς όποιο πλήθος συνολοθεωρητικών πράξεων. Συνεχίσαμε ορίζοντας την έννοια της πραγματικής συνολοσυνάρτησης ως συνάρτησης που ορίζεται στο δυναμοσύνολο (ή σε υποσυλλογή αυτού) και δίνει πραγματικές τιμές, και εξετάσαμε παραδείγματα. Παρατηρήσαμε ότι σε παραδείγματα όπως αυτό της πραγματικής ευθείας η περιγραφή τέτοιων συναρτήσεων είναι γενικά δύσκολη, οπότε είναι δυνατόν να μας χρειάζονται απλούστερες αναπαραστάσεις τους.

Αναμένουμε ότι κατανομή πιθανότητας θα είναι πραγματική συνολοσυνάρτηση με ιδιότητες που α. συνάδουν με την διαίσθηση μας για τις διαδικασίες μέτρησης, και β. αποδίδουν στην κατανομή επιθυμητές αναλυτικές ιδιότητες. Παρατηρήσαμε ότι όταν το σύνολο αναφοράς είναι απειροπληθές, τότε είναι δυνατόν να υπάρχουν υποσύνολα του στα οποία δεν μπορούν με συνεπή τρόπο να αποδοθούν πιθανότητες αν επιμένουμε στο β. Συνεπώς το πεδίο ορισμού της κατανομής θα είναι δυνατόν να είναι υποσυλλογή του δυναμοσυνόλου, που θα αποτελείται από τα μετρήσιμα-δηλ. αυτά στα οποία μπορούν και είναι επιθυμητό να αποδοθούν πιθανότητες, υποσύνολά του. Αυτή η υποσυλλογή θα είναι κλειστή ως προς μικρά, δηλαδή αριθμήσιμα, πλήθη συνολοθεωρητικών πράξεων. Όταν το σύνολο αναφοράς είναι πεπερασμένο μπορεί να επιλεγεί να είναι το δυναμοσύνολα, ενώ σε σύνολα αναφοράς όπως οι πραγματικοί, μπορεί να επιλεγεί ώστε να περιέχει όλα τα "οικεία" σε εμάς υποσύνολα των πραγματικών. Αποκτήσαμε έτσι την έννοια του μετρήσιμου χώρου.

Δεδομένου του παραπάνω, προχωρήσαμε στον ορισμό της κατανομής πιθανότητας, ως πραγματικής συνολοσυνάρτησης που ικανοποιεί τις ιδιότητες του θετικά ορισμένου, της τυποποίησης και της αριθμήσιμης προσθετικότητας. Αυτές ικανοποιούν το α. παραπάνω ενώ η τρίτη συνάδει και με το β. αφού εξαιτίας της οι κατανομές αποκτούν χρήσιμες αναλυτικές ιδιότητες.

Εξετάσαμε παραδείγματα και αντιπαραδείγματα σχετικά και με τα παραδείγματα συνολοσυναρτήσεων που είχαμε ήδη εξετάσει. Παρατηρήσαμε ότι ακόμη και στην περίπτωση των πραγματικών και της δυσκολίας περιγραφής που είδαμε παραπάνω, υπάρχουν κατανομές που περιγράφονται εύκολα επειδή οι υπολογισμοί των πιθανοτήτων που αποδίδουν γίνονται βάσει μικρών πληθών από κριτήρια, οπότε και αποκτήσαμε μια πρώτη αίσθηση των διακριτών κατανομών στους πραγματικούς.

Συνεχίσαμε, χρησιμοποιώντας την προεργασία μας, με την εξαγωγή περαιτέρω ιδιοτήτων των κατανομών, όπως η μονοτονία, και παρατηρήσαμε ότι  κάποιες από αυτές είναι δυνατόν να ερμηνευθούν ως ικανές συνθήκες υπό τις οποίες η εκάστοτε κατανομή μετασχηματίζει συνολοθεωρητικές πράξεις σε ”αντίστοιχες” πράξεις μεταξύ πραγματικών αριθμών.

Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ, εδώ, εδώ  και εδώ.