Στατιστική ΙΙ

Συνεχίσαμε με περαιτέρω παραδείγματα κατανομών που έχουν συναρτήσεις πυκνότητας. Έτσι π.χ. στα πλαίσια του παραδείγματος της εκθετικής κατανομής και εξαιτίας της μη παραγωγισιμότητας της αθροιστικής στο 0, προέκυψε η μη μοναδικότητα της συνάρτησης πυκνότητας. Παρατηρήσαμε ότι η συμβατική εκδοχή της συνάρτησης πυκνότητας είναι και η μοναδική για την οποία έχουμε συνέχεια της πυκνότητας στο στήριγμα. Ανάλογους συλλογισμούς εξετάσαμε στα πλαίσια του παραδείγματος της ομοιόμορφης κατανομής. Τέλος ορίσαμε ένα ακόμη παράδειγμα κατανομής μέσω αυτή την φορά της σχετικής συνάρτησης πυκνότητας. Πρόκειται για το παράδειγμα της τυπικής κατανομής Cauchy. Σημειώσεις για αυτά μπορείτε να βρείτε εδώ.

Στην συνέχεια, ξεκινήσαμε την (αναγκαστικά ελλειπή) μελέτη της αναπαράστασης κατανομής πιθανότητας στους προγματικούς ως διαδικασίας ολοκλήρωσης κατάλληλων συναρτήσεων, παραθέσαμε ορισμούς και ιδιότητες και ασχοληθήκαμε με υπολογισμούς σε διάφορα παραδείγματα. Σημειώσεις για αυτά μπορείτε να βρείτε εδώ. Και για αυτή την έννοια, ισχύει ότι για την πλήρη κατανόηση της απαιτεί την έννοια ολοκλήρωσης κατά Lebesgue-Stieljes από την μαθηματική ανάλυση οι οποία δεν μας είναι επίσης διαθέσιμη και προφανώς βρίσκεται εκτός του εύρους του μαθήματος.

Ασκήσεις:

1. Στα παραδείγματα της ομοιόμορφης και της εκθετικής κατανομής να βρεθούν μέσω των συναρτήσεων πυκνότητας που έχουμε εξάγει οι αντίστοιχες αθροιστικές συναρτήσεις.

2. Στο παράδειγμα της τυπικής κατανομής Cauchy να δειχθεί ότι η συνάρτηση πυκνότητας που μας δόθηκε στα πλαίσια του ορισμού της κατανομής είναι καλώς ορισμένη.