Στατιστική ΙΙ

Συνεχίσαμε την εξέταση του παραδείγματος της οικογένειας των κανονικών κατανομών. Μέσω αυτού του παραδείγματος παρατηρήσαμε ότι υπάρχει περίπτωση η αθροιστική συνάρτηση να έχει την μορφή κατάλληλου ολοκληρώματος, και χρησιμοποιώντας το ολοκλήρωμα του Gauss, και (κάπως καταχρηστικά) τον κανόνα παραγώγισης του Leibniz, δείξαμε το καλώς ορισμένο αυτής. Σημειώσεις για το εν λόγω παράδειγμα μπορείτε να βρείτε εδώ.

Μέσω αυτής της παρατήρησης οδηγηθήκαμε στην έννοια της συνάρτησης πυκνότητας κατανομής πιθανότητας στους πραγματικούς, οπότε ξεκινήσαμε την μελέτη της και αναλύσαμε ιδιότητες και παραδείγματα. Σημειώσεις για αυτά μπορείτε να βρείτε εδώ. Έτσι προέκυψε μια ακόμη αναπαράσταση κατανομής πιθανότητας, η οποία όμως βασίζεται στην προαναφερθείσα έννοια και αυτή είναι δυνατόν να μην υπάρχει σε κάποιες περιπτώσεις, ενώ σε άλλες να μην είναι μοναδική, σε αντιδιαστολή με την αθροιστική συνάρτηση που υπάρχει και είναι μοναδική σε κάθε περίπτωση. 

Σημειώσαμε ότι η πλήρης κατανόηση της έννοιας της συνάρτησης πυκνότητας, απαιτεί έννοιες από την μαθηματική ανάλυση οι οποίες δεν μας είναι διαθέσιμες όπως αυτή της απόλυτης συνέχειας ή αυτή της ολοκλήρωσης κατά Lebesgue, οι οποίες προφανώς βρίσκονται εκτός του εύρους του μαθήματος.

Άσκηση. Χρησιμοποιώντας την έννοια της συνάρτησης τόξο εφαπτομένη (τοξεφ-arctan)-δείτε εδώ, να δείξετε ότι η συνάρτηση 

είναι καλώς ορισμένη συνάρτηση πυκνότητας, και συνεπώς αναπαριστά μοναδική κατανομή στους πραγματικούς (η οποία ονομάζεται τυπική κατανομή Cauchy-standard Cauchy distribution).