Στατιστική ΙΙ

Δεδομένου ότι από τα προηγούμενα έγινε σαφές ότι μπορούμε να ορίζουμε κατανομές πιθανότητας στους πραγματικούς ορίζοντας τις σχετικές αθροιστικές συναρτήσεις, περιγράψαμε περαιτέρω παραδείγματα κατανομών πιθανότητας στους πραγματικούς. Τα παραδείγματα αυτά αφορούν σε κατανομές όπως η ομοιόμορφη, η εκθετική και η κανονική και σε κάθε ένα από αυτά ελέγξαμε το αν η εκάστοτε δεδομένη ως αθροιστική συνάρτηση είναι καλώς ορισμένη.

Πρόχειρες σημειώσεις για αυτά μπορείτε να βρείτε εδώ.

Μέσω των παραδείγματων παρατηρήσαμε ανάμεσα στα άλλα:

1. Eίναι δυνατόν μια κατανομή να αποδίδει μηδενική πιθανότητα σε μονοσύνολο που αποτελείται από κάποιο στοιχείο του στηρίγματός της (αυτό είναι δυνατόν να συμβαίνει σε κάθε μονοσύνολο που αποτελείται από όποιο στοιχείο του στηρίγματος, όπως δείχνουν τα παραδείγματα της ομοιόμορφης, της εκθετικής και της κανονικής κατανομής). Προφανώς κάτι τέτοιο είναι αδύνατον για διακριτές κατανομές (γιατί;).
2. Ο ορισμός που έχουμε υιοθετήσει για το πότε μια κατανομή θεωρείται συνεχής, αφορά στην "τοπολογική" μορφή του supp και όχι στο αν η αθροιστική της είναι συνεχής συνάρτηση. Έτσι, π.χ. είδαμε παράδειγμα συνεχούς κατανομής που έχει αθροιστική που εμφανίζει ασυνέχεια. Αναλόγως είδαμε παραδείγματα συνεχών κατανομών με συνεχείς αθροιστικές. Είναι δυνατόν να περιγραφούν και παραδείγματα μη συνεχών κατανομών που έχουν συνεχή αθροιστική (των οποίων το supp αναγκαστικά δεν μπορεί να έχει διακριτό μέρος-γιατί;). Τέτοια παραδείγματα (όπως αυτό της κατανομής Cantor) εκφεύγουν του εύρους του μαθήματος.
3. Κατασκευάσαμε παράδειγμα όπου το στήριγμα είναι η ένωση ενός διακριτού υποσυνόλου των πραγματικών και ενός διαστήματος ξένου ως προς το προηγούμενο. Αυτό προφανώς είναι παράδειγμα κατανομής που δεν είναι ούτε διακριτή, ούτε συνεχής.
4. Οι αθροιστικές είναι δυνατόν να εξαρτώνται μονοσήμαντα από παραμέτρους, το οποίο σημαίνει ότι αν τις αντιληφθούμε ταυτόγχρονα και ως συναρτήσεις των παραμέτρων τότε περιγράφουν ολόκληρες σχετικές οικογένειες από κατανομές.
5. Χωρίς ιδιαίτερη αυστηρότητα παρατηρήσαμε ότι κάποιες κατανομές είναι δυνατόν να προκύπτουν "ως οριακές περιπτώσεις" άλλων παίρνοντας κατά σημείο (δηλ. για κάθε x) όρια στις ανάλογες αθροιστικές ως προς τις παραμέτρους από τις οποίες αυτές είναι δυνατόν να εξαρτώνται.
6. Στο παράδειγμα της κανονικής κατανομής (που δεν ολοκληρώσαμε ακόμη) παρατηρήσαμε ότι η αθροιστική έχει την μορφή ολοκληρώματος. Προκειμένου να δείξουμε το αν αυτή είναι καταρχάς καλώς ορισμένη ως πραγματική συνάρτηση (δηλ. το αν το ολοκλήρωμα συγκλίνει για κάθε τιμή του x) χρησιμοποιήσαμε το ολοκλήρωμα του Gauss.

Ασκήσεις:

1. Να κατασκευαστεί κατανομή με στήριγμα της μορφής [α,β] όπου η αθροιστική εμφανίζει ασυνέχειες στα α και β.
2. Να κατασκευαστεί κατανομή με στήριγμα της μορφής [α,β] όπου η αθροιστική εμφανίζει ασυνέχειες σε δύο αυθαίρετα σημεία του στηρίγματος.
3. Για γ<δ<α<β, να κατασκευαστεί κατανομή με στήριγμα το .
4. Για γ<α<β<δ, να κατασκευαστεί κατανομή με στήριγμα το .