Στατιστική ΙΙ

Σκιαγραφήσαμε την απόδειξη του πρώτου μέρους του θεωρήματος χαρακτηρισμού. Κάποιες από τις ιδιότητες της αθροιστικής προκύπτουν από την χρήση μιας ιδιότητας συνέχειας της κατανομής που είναι εκτός του εύρους του μαθήματος και σχετίζεται με την "μικρού πλήθους" προσθετικότητα. Θεωρώντας δεδομένο το τι συνεπάγεται αυτή η ιδιότητα συνέχειας σε κάθε σχετική περίπτωση δείξαμε το πως προκύπτουν οι χαρακτηριστικές ιδιότητες της αθροιστικής συνάρτησης.

Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας εξάγωντας (όχι εξαντλητικά και χωρίς ιδιαίτερη σχολαστικότητα) περαιτέρω ιδιότητες που είναι δυνατόν να έχει η αθροιστική συνάρτηση και οι οποίες προφανώς θα αντανακλούν πιστά σχετικές ιδιότητες της κατανομής. Έτσι π.χ. είδαμε ότι η αθροιστική θα είναι ασυνεχής σε σημείο ανν η κατανομή αποδίδει αυστηρά θετική πιθανότητα στο σύνολο που αποτελείται από αυτό το μεμονωμένο σημείο. Αυτό μας οδήγησε στο συμπέρασμα ότι η συνάρτηση θα είναι αναγκαστικά συνεχής εκτός του στηρίγματος, ενώ αν έχει ασυνέχειες αυτές θα έχουν την μορφή θετικού άλματος και θα εντοπίζονται αναγκαστικά σε στοιχεία του στηρίγματος. Επίσης είδαμε ότι η αθροιστική θα είναι  γνησίως αύξουσα στο στήριγμα και κατά τμήματα σταθερή εκτός του στηρίγματος. Έτσι π.χ. αν η κατανομή είναι διακριτή τότε αναγκαστικά η αθροιστική αυτής θα έχει ασυνέχειες που θα εντοπίζονται σε διακριτό υποσύνολο των πραγματικών που ταυτίζεται με το στήριγμα, ενώ θα παραμένει τμηματικά σταθερή όπου αλλού. Παρατηρήσαμε (χωρίς να δωθούν οι σχετικές λεπτομέρειες) ότι τέτοιου είδους ιδιότητες είναι δυνατόν να μας βοηθούν να βρίσκουμε π.χ. το στήριγμα της κατανομής μέσω της αθροιστικής (αρκεί να βρούμε το μεγαλύτερο υποσύνολο των πραγματικών στο οποίο όταν περιοριστεί η αθροιστική είναι γνησίως μονότονη και το οποίο έχει ταυτόγχρονα και την οριστική ιδιότητα του στηρίγματος).

Δεδομένου του θεωρήματος χαρακτηρισμού γνωρίζουμε ότι θα πρέπει να μπορούμε να υπολογίζουμε τις πιθανότητες που αποδίδει η αθροιστική . Έτσι είδαμε βασικά παραδείγματα του πως είναι δυνατόν να υπολογίζουμε μέσω της αθροιστικής την πιθανότητα που η κατανομή αποδίδει μετρήσιμα υποσύνολα των πραγματικών όταν αυτά έχουν διάφορες μορφές. 

Από τα παραπάνω μας έγινε σαφές ότι είναι δυνατόν να ορίζουμε κατανομές πιθανότητας στους πραγματικούς ορίζοντας απλώς τις σχετικές αθροιστικές συναρτήσεις.

Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Άσκηση. Έστω P κατανομή πιθανότητας με αθροιστική την F. Να εκφρασθεί μέσω της F η πιθανότητα που η P αποδίδει στα εξής: