Στατιστική ΙΙ

Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας με την έννοια της τυχαίας μεταβλητής και της κατανομής από μεταφορά εξετάζοντας περαιτέρω το παράδειγμα που αναπτύξαμε. Έτσι παρατηρήσαμε π.χ. ότι η κατανομή από μεταφορά εξαρτάται γενικά τόσο από την αρχική κατανομή όσο και από την τυχαία μεταβλητή μέσω των οποίων ορίζεται. Σχετικές πρόχειρες σημειώσεις μπορείτε να βρείτε εδώ.

Στο εν λόγω παράδειγμα παρατηρήσαμε ότι η κατανομή που προέκυψε από μεταφορά είναι "εύκολα περιγράψιμη" χωρίς την ανάγκη χρήσης επί της ουσίας νέων εννοιών πέρα του ορισμού. Αυτό επειδή η πιθανότητα που αυτή αποδίδει σε κάποιο μετρήσιμο υποσύνολο των πραγματικών εξαρτώταν μόνο από την τομή του τελευταίου με διακριτό υποσύνολο των πραγματικών, και από την πιθανότητα που η κατανομή αποδίδει στα μονοσύνολα που σχηματίζει κάθε ξεχωριστό στοιχείο αυτού του διακριτού συνόλου.

Δεδομένων των παραπάνω, ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με το ζήτημα της αναπαράστασης κατανομών στους πραγματικούς. Ορίσαμε την έννοια του στηρίγματος, και χρησιμοποιώντας την εξετάσαμε ορισμούς και ιδιότητες που αφορούν κατηγορία κατανομών στους πραγματικούς που είναι αναλόγως "εύκολα περιγράψιμες", τις λεγόμενες διακριτές κατανομές. Χρησιμοποιώντας αυτές τις ιδιότητες αμέσως μετά θα εξετάσουμε το πως μπορούμε να τις περιγράφουμε εύκολα και να ελέγχουμε το αν η περιγραφή που χρησιμοποιούμε αντιστοιχεί πράγματι σε σχετική κατανομή. Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Aσκήσεις

1. Στο παράδειγμα που εξετάσαμε και δεδομένης της P, πως πρέπει να τροποποιηθεί η Χ ώστε η P^{*} να έχει supp το {-1,3};
2. Στο ίδιο παράδειγμα και δεδομένης της αρχικής Χ, πως πρέπει να τροποποιηθεί η P ώστε να έχουμε P^{*}({0})=1/3 και P^{*}({1})=2/3;
3. Στο ίδιο παράδειγμα πως πρέπει να τροποποιηθούν οι P και Χ ώστε η P^{*} να έχει supp το {-1,3} και να έχουμε ότι P^{*}({-1})=1/3 και P^{*}({3})=2/3;