Στατιστική ΙΙ

Συνεχίσαμε με την κατασκευή και ανάλυση παραδειγμάτων (και άντιπαραδειγμάτων) που καταρχάς εμπλέκουν πεπερασμένα σύνολα αναφοράς. Παρατηρήσαμε ότι όταν ένας μετρήσιμος χώρος είναι τετριμμένος (δηλαδή το Ω έχει μόνο ένα στοιχείο) τότε μόνο μία (εκφυλισμένη) κατανομή πιθανότητας είναι δυνατόν να ορίζεται σε αυτόν. Όταν έχει πάνω από ένα στοιχεία, τότε είναι δυνατόν να ορίζονται πολύ περισσότερες κατανομές πιθανότητας σε αυτόν. Εξαιτίας αυτού προκύπτει το στατιστικό πρόβλημα.

Παρατηρήσαμε επίσης ότι συλλογές από κατανομές πιθανότητας οριζόμενες στον ίδιο χώρο πιθανότητας είναι δυνατόν να βρίσκονται σε αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία με υποσύνολα Ευκλείδειων χώρων (π.χ. οι κατανομές που μπορούν να ορισθούν σε σύνολο αναφοράς με δύο στοιχεία, και η λίστα από τα μετρήσιμα υποσύνολα περιλαμβάνει όλα τα υποσύνολα του συνόλου αναφοράς, περιγράφονται συνολικά από παράμετρο με τιμές στο [0,1], ή σε ένα πιο περίπλοκο παράδειγμα, η συλλογή  βρίσκεται σε αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία με το ). Αυτό είναι δυνατόν να διευκολύνει τον σχεδιασμό διαδιακασιών στατιστικής επαγωγής, καθώς σε περιπτώσεις που η ανάλογη κατανομή γνωρίζουμε ότι βρίσκεται στην σχετική οικογένεια, τότε η εύρεση της είναι δυνατόν να μπορεί να αναχθεί στον εντοπισμό της ανάλογης τιμής της σχετικής παραμέτρου. Οπότε η σχετική αναζήτηση είναι δυνατόν να διευκολύνεται από "οικείες" έννοιες για τον εντοπισμό τέτοιων τιμών, όπως π.χ. η επίλυση εξισώσεων, η βελτιστοποίηση συναρτήσεων, κ.ο.κ.

Εξετάζοντας το παράδειγμα της πραγματικής ευθείας, παρατηρήσαμε ότι όταν η συλλογή από τα σχετικά μετρήσιμα υποσύνολα είναι "περίπλοκη" τότε είναι δυσχερής ο ορισμός για την περιγραφή κατανομής πιθανότητας. Επομένως μας χρειάζονται έννοιες που είναι δυνατόν να αναπαριστούν μια κατανομή αποφεύγοντας τον ορισμό, και οι οποίες είναι επίσης "οικείες" (π.χ. συναρτήσεις από το  στο ) και "εύχρηστες". Προκύπτει επίσης το ερώτημα του πως είναι δυνατόν οι ιδιότητες της κατανομής να αντανακλώνται σε τυχόν "οικείες αναλυτικές" ιδιότητες όποιας τέτοιας αναπαράστασης. Θα ασχοληθούμε με αυτά τα ερωτήματα σε σημαντικό μέρος του μαθήματος.

Πρόχειρες σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Προτού μεταφέρουμε την ανάλυση μας στους πραγματικούς, ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με την έννοια της τυχαίας μεταβλητής (ή γενικότερα μετρήσιμης συνάρτησης) και του πως μια τυχαία μεταβλητή μεταφέρει μια κατανομή πιθανότητας στους πραγματικούς. Η οριστική ιδιότητα που επιτρέπει κάτι τέτοιο αφορά στο ότι η αντίστροφη εικόνα όποιου μετρήσιμου υποσυνόλου των πραγματικών μέσω της τυχαίας μεταβλητής είναι μετρήσιμο υποσύνολο του πεδίου ορισμού. Συνεπώς προκειμένου να κατανοήσουμε τον σχετικό ορισμό ασχοληθήκαμε γρήγορα με την έννοια της αντίστροφης εικόνας πραγματικής συνάρτησης (δείτε ενδεικτικά και εδώ ή/και την IV στην σελ. 11 εδώ-η έννοια είναι καλώς ορισμένη για κάθε συνάρτηση με όποιο πεδίο ορισμού). Δεδομένου αυτού είδαμε τον σχετικό ορισμό και κατασκευάσαμε παράδειγμα. Στην συνέχεια περιγράψαμε το πως είναι δυνατόν μια τυχαία μεταβλητή να μεταφέρει κατανομή πιθανότητας στους πραγματικούς εξαιτίας της σχετικής ιδιότητας της, και εξετάσαμε τον σχετικό ορισμό στα πλαίσια του παραπάνω παραδείγματος.

Πρόχειρες σημειώσεις για αυτό μπορείτε να βρείτε εδώ.