Μάθημα : Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ

Ολοκληρώσαμε το παράδειγμα εμφάνισης της γεωμετρικής ακολουθίας και  σειράς στην τεχνολογία των κλασματικών ρευστών διαθεσίμων.

Συνεχίσαμε με το παράδειγμα της αρμονικής σειράς και εκμεταλλευόμενοι την προεργασία που είχαμε κάνει για την προσέγγιση του γενικού όρου της αρμονικής ΑΜΑ από ολοκλήρωμα, δείξαμε ότι η εν λόγω σειρά δεν υπάρχει επειδή η ΑΜΑ αυτής δεν είναι φραγμένη.

Αναφερθήκαμε στο παράδειγμα της εναλλάσουσας αρμονικής η οποία υπάρχει και ισούται με ln(2), και σημειώσαμε ότι τα εννοιολογικά εργαλεία που έχουμε συγκεντρώσει μέχρι τώρα δεν επαρκούν για να εξετάσουμε το τι συμβάινει με αυτό το παράδειγμα•θα μας χρησιμεύσουν οι δυναμοσειρές. Επιφυλαχθήκαμε με το παράδειγμα της υπεραρμονικής σειράς.

Παρατηρήσαμε ότι με την εξαίρεση παραδειγμάτων όπως αυτό της γεωμετρικής σειράς, όπου ήταν "εύκολο" να βρεθεί και να ελεγχθεί ως προς την σύγκλιση γενικός τύπος για την μερική άθροιση, γενικά τα ζητήματα i) της ύπαρξης δεδομένης σειράς και ii) της εύρεσης του με τι ισούται όταν υπάρχει, εμφανίζουν δυσκολίες στην γενική τους επίλυση ανάλογες με αυτές των διαδικασιών ολοκλήρωσης.

Εστιάζοντας κυρίως στο ζήτημα της διακρίβωσης του εάν δεδομένη σειρά υπάρχει, ξεκινήσαμε την διατύπωση θεμελιώδους λογισμού σειρών που βασίζεται στον λογισμό που έχουμε αναπτύξει για τα όρια. Έτσι καταρχάς είδαμε ότι όταν η αρχική ακολουθία αποτελείται από ομόσημους όρους τότε, και επειδή η ακολουθία μερικών αθροισμάτων αυτής είναι μονότονη, η σχετική σειρά θα υπάρχει ανν η ακολουθία μερικών αθροισμάτων είναι φραγμένη.

Ξεκινήσαμε την εξέταση στοιχείων του λογισμού σειρών που άπτονται άλγεβρας συγκλινουσών σειρών.

Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Στοιχεία των παραπάνω μπορείτε να βρείτε και στους πίνακες των από απόσταση διαλέξεων του Έτους 2020-21, εδώ και εδώ.