Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Ιστολόγιο

Επιστροφή

Διάλεξη 14η (Ακ. Έτος 2023-24)

Κυριακή, 3 Δεκεμβρίου 2023 - 4:15 μ.μ.

Στα πλαίσια των γενικών ερωτημάτων πέρι ύπαρξης και εύρεσης δεδομένης σειράς, εξετάσαμε το παράδειγμα της γεωμετρικής σειράς. Παρατηρήσαμε ότι σε αυτό είναι δυνατόν με στοιχειώδεις τρόπους να επιλυθεί η έκφραση του γενικού όρου της σχετικής ΑΜΑ και στην συνέχεια αυτός να εξεταστεί ως προς την σύγκλιση.

Ξεκινήσαμε την διερεύνηση του παραδείγματος της αρμονικής σειράς συσχετίζοντας τον γενικό όρο της αρμονικής ΑΜΑ με κατάλληλο ολοκλήρωμα.

Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Στοιχεία των παραπάνω μπορείτε να βρείτε και στους πίνακες των από απόσταση διαλέξεων του Έτους 2020-21, εδώ και εδώ.

Περαιτέρω Ασκήσεις

Χρησιμοποιώντας την γεωμετρική σειρά, και χωρίς να ασχοληθείτε με το αν μπορείτε να την «παραγωγίσετε» ως προς $a$ προσπαθήστε να βρείτε την $\sum_{i=1}^{\infty}i a^{i}$ όταν $|a|<1,\: a\neq 0$ .
Αν $\sum_{i=0}^{\infty} \alpha^{i},\: \sum_{i=0}^{\infty}\beta^{i}$ υπάρχουσες γεωμετρικές σειρές τότε με τι ισούται η $\sum_{i=0}^{\infty} (\alpha^{i}-\beta^{i})$ και γιατί;
Έστω ακολουθία με αυστηρά θετικούς όρους. Δείξτε ότι η ακολουθία μερικών αθροισμάτων αυτής είναι γνησίως αύξουσα. Το αντίστροφο ισχύει;