Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Ιστολόγιο

Επιστροφή

Σύνοψη Διαλέξεων 11ης-12ης (Ακ. Έτος 2022-23)

Δευτέρα, 21 Νοεμβρίου 2022 - 10:41 μ.μ.

Παρατηρώντας ότι η χρήση μέρους του λογισμού έχει να κάνει με την διευκόλυνση της εξακρίβωσης του ζητήματος σύγκλισης (και ενδεχομένως της συνακόλουθης εύρεσης του ορίου) για ακολουθίες που απατελούν κατάλληλους μετασχηματισμούς ακολουθιών των οποίων η ασυμπτωτική συμπεριφορά είναι γνωστή, αναφερθήκαμε καταλήγωντας στον μετασχηματισμό ακολουθιών μέσω σύνθεσης με κατάλληλες συναρτήσεις, και συνακόλουθα στην αρχή της μεταφοράς. Χρησιμοποιήσαμε πολλές από τις έννοιες που έχουμε μέχρι τώρα εξάγει στην μελέτη της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς χρήσιμων στα παρακάτω παραδειγμάτων που σχετίζονται με την γεωμετρική σειρά.

Ξεκινώντας την ενασχόληση μας με τις πραγματικές σειρές, και προσπαθώντας να εννοιολογήσουμε το απειροπληθές άθροισμα είδαμε ότι γενικά αυτό είναι αδύνατο μέσω της άλγεβρας. Ξεκινήσαμε την εννοιολόγηση ορίζοντας την έννοια της ακολουθίας μερικών αθροισμάτων δεδομένης πραγματικής ακολουθίας που περικλείει του συντελεστές του αθροίσματος. Αυτή μπορεί να θεωρηθεί ως διαδικασία "ολοκλήρωσης ", ενώ η ζητούμενη έννοια της σειράς ως προς την ακολουθία των συντελεστών είναι το όριο αυτής όταν αυτό υπάρχει. Εξετάσαμε παραδείγματα μεταξύ των οποίων αυτά της γεωμετρικής, της αρμονικής, της εναλλάσουσας αρμονικής και της υπεραρμονικής ακολουθίας μερικών αθροισμάτων. Ορίσαμε την έννοια της σειράς ως το όριο της ακολουθίας μερικών αθροισμάτων των συντελεστών, και εξετάσαμε παραδείγματα μεταξύ των οποίων αυτά της γεωμετρικής σειράς.

Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Στοιχεία των παραπάνω μπορείτε να βρείτε και στους πίνακες των από απόσταση διαλέξεων του Έτους 2020-21, εδώ και εδώ.

Περαιτέρω Ασκήσεις

Να οριστεί αυστηρά η αντίστροφη της διαδικασίας μερικής άθροισης.
Έστω ακολουθία με αυστηρά θετικούς όρους. Δείξτε ότι η ακολουθία μερικών αθροισμάτων αυτής είναι γνησίως αύξουσα. Το αντίστροφο ισχύει;
Χρησιμοποιώντας την γεωμετρική σειρά, και χωρίς να ασχοληθείτε με το αν μπορείτε να την «παραγωγίσετε» ως προς $a$ προσπαθήστε να βρείτε την $\sum_{i=1}^{\infty}i a^{i}$ όταν $|a|<1,\: a\neq 0$ .
Αν $\sum_{i=0}^{\infty} \alpha^{i},\: \sum_{i=0}^{\infty}\beta^{i}$ υπάρχουσες γεωμετρικές σειρές τότε με τι ισούται η $\sum_{i=0}^{\infty} (\alpha^{i}-\beta^{i})$ και γιατί;
Να δείξετε ότι κάθε άθροισμα πεπερασμένου πλήθους όρων είναι δυνατόν να γραφεί ως κάταλληλη σειρά.