Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας με το παράδειγμα εφικτού συνόλου αποδεικνύοντας ότι αποτελείται από (ομοιόμορφα) φραγμένες ακολουθίες. Δεδομένης της διερεύνησης μας για το παράδειγμα εφικτού συνόλου, περιγράφοντας σε αδρές γραμμές την σύνδεση μεταξύ σχέσης προτίμησεων επί του εφικτού συνόλου και (όταν υπάρχει) συνάρτησης ωφέλειας που την αναπαριστά, ασχοληθήκαμε με παράδειγμα συνάρτησης ωφέλειας επί του εφικτού συνόλου και με το ζήτημα του αν αυτή (και συνακόλουθα το πρόβλημα της βέλτιστης επιλογής διαχρονικής ροής κατανάλωσης) είναι καλώς ορισμένη. Αυτή είχε την μορφή σειράς συναρτήσεων και εμφάνιζε τα χαρακτηριστικά της χρονικής διαχωρισιμότητας (time separability) και της εκθετικής χρονικής προεξόφλησης (exponential discounting). Το να είναι καλώς ορισμένη ισοδυναμεί με το να συγκλίνει για κάθε εφικτή διαχρονική κατανάλωση. Δεδομένων των τιμών που επιτρέψαμε στον συντελεστή χρονικής προτίμησης, και χρησιμοποιώντας μια σειρά από συλλογισμούς που άπτονται σημαντικού μέρους της μέχρι τώρα μας ύλης, δείξαμε το καλώς ορισμένο. Υποθέτωντας υπεραρμονική προεξόφληση, προκειμένου να αναφερθούμε σε προτιμήσεις όπου αποδίδεται μεγαλύτερη σημασία στις απομακρυσμένες χρονικά καταναλώσεις, δείξαμε επίσης το καλώς όρισμένο.

Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Στην συνέχεια ξεκινήσαμε την εισαγωγή μας στην θεωρία των δυναμοσειρών. Παρατηρώντας ότι μπορούν τυπικά να ειδωθούν ως κατάλληλα αλγεβρικά συμπληρώματα των πολυωνύμων εφόσον αγνοήσουμε αναλυτικές ιδιότητες τους (ενώ η αλγεβρική αυτή θέαση είναι προφανώς εκτός του εύρους του μαθήματος), και ότι ως έννοιες της ανάλυσης (που είναι εντός του εύρους του μαθήματος) και εξαιτίας των "καλών ιδιοτήτων τους" έχουν ποικίλες εφαρμογές, ασχοληθήκαμε με τον ορισμό τους, και είδαμε παραδείγματα, και αντιπαράδειγμα.

Δεδομένων των παραπάνω, ασχοληθήκαμε καταρχάς με το ζήτημα της συγκλισής τους, οπότε και διατυπώσαμε το θεώρημα Cauchy-Hadamard που μας πληροφορεί ότι το σύνολο σύγκλισης έχει πάντοτε την μορφή διαστήματος (έστω εκφυλισμένου, ή γενικευμένου), με κατάλληλο κέντρο και ακτίνα, μια πρώτη ένδειξη της καλής συμπεριφοράς αυτών. Σκιαγραφήσαμε (και) μέσω του κριτηρίου του πηλίκου την απόδειξη του θεωρήματος, ενώ είδαμε ότι στο εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης η σύγκλιση της δυναμοσειράς είναι απόλυτη, το διάστημα σύγκλισης είναι δυνατόν να περιέχει κάποιο ή και τα δύο άκρα του (εφόσον υπάρχουν), αυτό είναι αδύνατο να διερευνηθεί μέσω του κριτηρίου του πηλίκου, ενώ η σύγκλιση σε κάποιο από αυτά ή και στα δύο (εφόσον ισχύει) μπορεί να είναι κατά συνθήκη.

Στην συνέχεια διερευνήσαμε παραδείγματα ως προς το θεώρημα Cauchy-Hadamard.

Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Τους πίνακες των εξ' αποστάσεως διαλέξεων για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Περαιτέρω Ασκήσεις

1. Προσπαθήστε να δείξετε αν το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διερευνήθηκε παραπάνω είναι καλώς ορισμένο όταν η συνάρτηση ωφέλειας είναι η .
2. Για το προηγούμενο να βρεθούν αν υπάρχουν εφικτές διαχρονικές καταναλώσεις με σχεδόν όλους τους όρους θετικούς για τις οποίες η συνάρτηση ωφέλειας συγκλίνει όταν .
3. Εξηγήστε το γιατί η συνάρτηση ωφέλειας είναι σειρά πραγματικών συναρτήσεων η κάθε μία εκ των οποίων ορίζεται επί του εφικτού συνόλου.
4. Προσπαθείστε να διερευνήσετε ότι έχει γίνει και ότι έχει ζητηθεί στην εφαρμογή μας όταν αντί του μετασχηματισμού  ισχύει ο μετασχηματισμός (δηλ. ο στιγμιαίος ανατοκισμός του διαθέσιμου πόρου με στιγμιαίο σταθερό στον χρόνο επιτόκιο r)
5. Να δειχθεί ότι οι παρακάτω είναι δυναμοσειρές και να βρεθεί το εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης αυτών:
6. 1. 
   2. 
   3. 
   4. 
   5.