Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Είδαμε πως εφαρμόζεται ο αναλυτικός ορισμός του ορίου σε παραδείγματα και αντιπαραδείγματα και προχωρήσαμε μέσω της χρήσης του στην διακρίβωση της σχέσης της σύγκλισης με τις αλγεβρικές πράξεις που έχουμε μελετήσει για πραγματικές ακολουθίες. Παρατηρώντας ότι η χρήση μέρους του λογισμού έχει να κάνει με την διευκόλυνση της εξακρίβωσης του ζητήματος σύγκλισης (και ενδεχομένως της συνακόλουθης εύρεσης του ορίου) για ακολουθίες που απατελούν κατάλληλους μετασχηματισμούς ακολουθιών των οποίων η ασυμπτωτική συμπεριφορά είναι γνωστή, αναφερθήκαμε καταλήγωντας στον μετασχηματισμό ακολουθιών μέσω σύνθεσης με κατάλληλες συναρτήσεις, και συνακόλουθα στην αρχή της μεταφοράς. Χρησιμοποιήσαμε πολλές από τις έννοιες που έχουμε μέχρι τώρα εξάγει στην μελέτη της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς χρήσιμων στα παρακάτω παραδειγμάτων που σχετίζονται με την γεωμετρική σειρά.

Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Τους πίνακες των από απόσταση διαλέξεων μπορείτε να βρείτε εδώ.

Ασκήσεις

1. Δείξτε το Λήμμα (Μοναδικότητα) αποκλειστικά μέσω του αναλυτικού ορισμού.
2. Δείξτε ότι συγκλίνουσα ακολουθία με κάτω φράγμα το 1 δεν μπορεί να έχει όριο μικρότερο του 1.
3. Δείξτε ότι συγκλίνουσα ακολουθία με άνω φράγμα το 1 δεν μπορεί να έχει όριο μεγαλύτερο του 1.
4. Δείξτε ότι το όριο συγκλίνουσας ακολουθίας δεν μπορεί να είναι μικρότερο από το inf και μεγαλύτερο από το sup αυτής.
5. Να δείξετε μόνο μέσω του αναλυτικού ορισμού ότι η συγκλίνει στο 1.
6. Να δείξετε μόνο μέσω του αναλυτικού ορισμού ότι η δεν συγκλίνει σε όποιον πραγματικό διάφορο του 1.
7. Να δείξετε ότι το γινόμενο φραγμένης με συγκλίνουσα στο μηδέν ακολουθία είναι ακολουθία που επίσης συγκλίνει στο μηδέν. Θα ήταν δυνατόν να συμβαίνει κάτι τέτοιο ακόμη και αν η πρώτη δεν ήταν φραγμένη αλλά αποκλίνουσα;