Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Χρησιμοποιώντας την παραγωγισιμότητα, εργαστήκαμε με παραδείγματα που προέκυψαν στα πλαίσια της γεωμετρικής σειράς όποτε είδαμε ότι είναι δυνατόν να χρησιμοποιείται η εν λόγω αναλυτική ιδιότητα προκειμένου να βρίσκουμε πραγματικές σειρές.

Στην συνέχεια παρατηρήσαμε ότι το θεώρημα της παραγωγισιμότητας συνεπάγεται άμεσα ότι οι δυναμοσειρές με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης είναι ομαλές συναρτήσεις στο εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης τους. Εργαστήκαμε για την εξαγωγή της μορφής των παραγώγων αυθαίρετης τάξης βασιζόμενοι και στην μορφή της κ-τάξης παραγώγου πολυωνυμικής συνάρτησης και είδαμε εφαρμογές στα πλαίσια της γεωμετρικής σειράς. Υπολογίζοντας τις παραγώγους στο κέντρο (γιατί είναι δυνατόν αυτό;), αποκτήσαμε αναπαραστάσεις των συντελεστών της δυναμοσειράς ως προς τις τελευταίες, και απαρατηρήσαμε ότι οι δυναμοσειρές ικανοποιούν μια "γενικευμένη εκδοχή του θεωρήματος Taylor", ρίχνοντας έτσι μια επιφανειακή ματιά στην θεωρία των αναλυτικών συναρτήσεων. 

Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Περνώντας σε εφαρμογές δυναμοσειρών είδαμε εν συντομία κάποιες βασικές έννοιες που αφορούν στις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις. Παρατηρήσαμε ότι συνήθως λύσεις αυτών βρίσκονται μέσω περίπλοκων διαδικασιών ολοκλήρωσης (που συνδυάζονται με κατάλληλους μετασχηματισμούς) και ότι εφόσον η ολοκλήρωση είναι γενικά υπολογιστικά πολύπλοκη, προκύπτει εύλογα το ερώτημα αν είναι δυνατόν σε κάποιες περιπτώσεις να αποφευχθεί μέσω διαδικασίών εύρεσης λύσεων ενδεχομένως μικρότερης πολυπλοκότητας. Οδηγηθήκαμε έτσι σε μια εισαγωγή στην Μέθοδο των Δυναμοσειρών για την εύρεση λύσεων.

Η μέθοδος ανάγεται στην επίλυση απειροπληθούς συστήματος από αναδρομικές σχέσεις για την εύρεση των άγνωστων συντελεστών της δυναμοσειράς. Αυτό προκύπτει από την μορφή της εξίσωσης, την μορφή που έχουν οι παράγωγοι δυναμοσειράς με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης, και από την έννοια της ισότητας δυναμοσειρών. Είναι δε δυνατόν να είναι ευκολότερα επιλύσιμο από την ολοκλήρωση. Το σύστημα δεν θα εμπεριέχει εξ'ορισμού πληροφορία για κάποιους από τους συντελεστές της εξίσωσης το πλήθος των οποίων θα ταυτίζεται με την τάξη της, και οι οποίοι θα αναπαριστούν τις σχετικές σταθερές ολοκλήρωσης. Ασχοληθήκαμε με την εφαρμογή της μεθόδου στην κατηγορία των γραμμικών εξισώσεων πρώτης τάξης, με σταθερούς συντελεστές και όρο, και χρησιμοποιήσαμε τα ευρήματά μας σε εφαρμογή για την ασυμπτωτική ευστάθεια αγοράς με σχετικά απλή δυναμική συμπεριφορά. Ασχοληθήκαμε επίσης, και με παράδειγμα γραμμικής πρώτης τάξης με σταθερούς συντελεστές και γραμμικό όρο όπως και με παράδειγμα ομογενούς γραμμικής δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές.

Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ, και εδώ.    

Περαιτέρω Ασκήσεις.

Α. Να βρεθούν οι παράγωγοι 2ης και 3ης τάξης για όσες από τις παρακάτω δυναμοσειρές είναι καλώς ορισμένες:

1. ,
2. ,
3. ,
4. ,
5. .

Β. Να βρεθούν αν υπάρχουν λύσεις που έχουν την μορφή δυναμοσειρών με κέντρο το μηδέν, με την μέθοδο των δυναμοσειρών για τις παρακάτω:

1. ,
2. .