Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Ιστολόγιο

Σύνοψη Διαλέξεων 17ης-20ης (2019-20)

Τρίτη, 24 Δεκεμβρίου 2019 - 6:34 μ.μ.
- από τον χρήστη ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ ΣΤΥΛΙΑΝΟΣ

Προχωρήσαμε με το παράδειγμα τιμολόγησης χρηματοοικονομικού τίτλου εκφράζοντας υπό προϋποθέσεις την τιμή ως σειρά των κατάλληλα προεξοφλημένων αποδόσεων. Θεωρήσαμε υποπαράδειγμα της προσέγγισής μας που αφορούσε στην μη σύγκλιση κατάλληλης σειράς, ως σχετικό με την έννοια της χρηματοοικονομικής φούσκας.

Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ. Ένα γενικότερο υπόδειγμα αποτίμησης σε υπόβαθρο αβεβαιότητας (το οποίο προφανώς είναι εκτός της ύλης του μαθήματος) μπορείτε να βρείτε εδώ.

Συνεχίσαμε με δεύτερο παράδειγμα στα πλαίσια της νομισματικής θεωρίας όπου συναντάμε τις έννοιες της πραγματικής ακολουθίας και της πραγματικής σειράς. Αυτό αφορά στην δημιουργία χρήματος από τις θεμελιώδεις λειτουργίες του τραπεζικού συστήματος, το οποίο αποτελείται από την κεντρική και τις εμπορικές τράπεζες και στο οποίο υπάρχει η τεχνολογία των κλασματικών διαθεσίμων.

Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Στην συνέχεια, και προκειμένου να μπορούμε να ασχοληθούμε με πολυπλοκότερα παραδείγματα αλλά και με την έννοια της δυναμοσειράς και τις συνακόλουθες εφαρμογές, ξεκινήσαμε την γενίκευση των έννοιών που έχουμε δει μέχρι τώρα εισάγωντας και την έννοια της ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού. Παρατηρήσαμε ότι είναι δυνατόν να αντιληφθούμε μια ακολουθία πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού με τρεις ισοδύναμους τρόπους. Ο τρίτος την αναπαριστά ως "λίστα" πραγματικών ακολουθιών, μία για καθε σημείο του κοινού πεδίου ορισμού. Αυτός μαζί με την έννοια του ορίου πραγματικής ακολουθίας μας οδήγησε "φυσικά" στην έννοια του σημειακού ορίου ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων, το οποίο εξ'ορισμού είναι πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού υποσύνολο του κοινού πεδίου ορισμού των όρων της ακολουθίας. (Και) μέσω παραδειγμάτων παρατηρήσαμε ότι αυτή η έννοια ορίου είναι αρκετά ασθενής ώστε είναι δυνατόν η συνάρτηση όριο να μην έχει ιδιότητες που έχουν όλα τα μέλη της ακολουθίας όπως π.χ. η συνέχεια, και πως είναι δυνατόν να οριστούν ισχυρότερες μορφές ορίου που να διατηρούν κάποιες από αυτές τις ιδιότητες.

Δεδομένων των παραπάνω, της δυνατότητας κατα σημείο πρόσθεσης πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού, και των όσων ξέρουμε για τις πραγματικές σειρές, ορίσαμε την έννοια της σειράς πραγματικών συναρτήσεων ως σημειακό όριο κατάλληλης ακολουθίας μερικών αθροισμάτων. Προκειμένου να εντοπίζουμε μέρος του πεδίου ορισμού μιας τέτοιας σειράς διατυπώσαμε αλγόριθμο που βασίζεται στο κριτήριο του πηλίκου και είδαμε παραδείγματα. Παρατηρήσαμε ότι είναι δυνατόν σε μέρος του πεδίου ορισμού της μια τέτοια σειρά να συγκλίνει απολύτως και σε άλλο μέρος κατά συνθήκη (προφανώς το τελευταίο δεν είναι δυνατόν να εντοπισθεί από το κριτήριο του πηλίκου-γιατί;).

Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Ξεκινήσαμε την πραγμάτευση παραδείγματος που επισκοπεί μεγάλο μέρος της μέχρι τώρα ύλης, και αφορά στην βέλτιστη επιλογή διαχρονικής κατανάλωσης σε κατάλληλο υπόβαθρο. Σε αυτό παρατηρήσαμε ότι διαχρονική ροή κατανάλωσης είναι όποια πραγματική ακολουθία από μη αρνητικούς όρους, ενώ αρχίσαμε να εργαζόμαστε στην κατασκευή εφικτού συνόλου από διαχρονικές ροές κατανάλωσης δεδομένης εξωγενούς αρχικής προικοδότησης και τεχνολογίας μετασχηματισμού πόρων. 

Ασχοληθήκαμε με την περιγραφή εφικτού συνόλου που προσδιορίζεται από εξωγενή προικοδότηση και σταθερή στον χρόνο τεχνολογία μετασχηματισμού των πόρων. Παρατηρήσαμε ότι το εφικτό σύνολο από διαχρονικές ροές κατανάλωσης δεδομένων των παραπάνω, προσδιορίζεται από ακολουθία ανισοτικών περιορισμών ("διαχρονικοί εισοδηματικοί περιορισμοί"), είναι μη κένο, και αποτελείται από (ομοιόμορφα) φραγμένες ακολουθίες.

Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Περαιτέρω Ασκήσεις

  1. Ερμηνεύστε οικονομικά τον μετασχηματισμό k\rightarrow k^{a}.
  2. Προσπαθήστε να ερμηνεύσετε αυστηρά στα πλαίσια της οικονομικής θεωρίας το τι συμβαίνει με την τιμή του τίτλου όταν δεν ισχύει η συνθήκη μη ύπαρξης φούσκας.
  3. Προσπαθήστε να ερμηνεύσετε αυστηρά στα πλαίσια της οικονομικής θεωρίας το τι θα συνέβαινε  στο άνω φράγμα της συνολικής προσφοράς χρήματος αν οι εμπορικές τράπεζες δεν είχαν υποχρέωση διακράτησης ρευστών διαθεσίμων (a=0);
  4. Όταν το X=\mathbb{R} να βρεθεί το X^{*} για την \sum_{i=0}^{\infty} x/i!.
  5. Όταν το X=\mathbb{R} να βρεθεί το X^{*} για την \sum_{i=0}^{\infty}x^{3i}/i! .
  6. Όταν το X=\mathbb{R} να βρεθεί το X^{*} για την \sum_{i=0}^{\infty} x/(i+1).
  7. Όταν το X=\mathbb{R} να βρεθεί το X^{*} για την \sum_{i=0}^{\infty} x^{2i}/(i+1).
  8. Να επαναλάβετε τα προηγούμενα για το X=(0,1).
  9. Υπάρχουν στα παραπάνω περιπτώσεις που γνωρίζουμε βάσει και των όσων έχουμε κάνει προηγουμένως και ποιό είναι το όριο;
  10. Όταν το X=\mathbb{R} να βρεθεί το X^{*} για την \sum_{i=0}^{\infty} \sin(ix)/i! χωρίς την χρήση του κριτηρίου.
  11. Προσπαθήστε να επαναλάβετε το παραπάνω χρησιμοποιώντας το κριτήριο.
  12. Να επαναλάβετε το ζητούμενο στην 8 όταν το X=\mathbb{R} για την \sum_{i=0}^{\infty} \cos(ix)/i.
  13. Προσπαθείστε να διερευνήσετε ότι έχει γίνει και ότι έχει ζητηθεί μέχρι στιγμής στην εφαρμογή μας όταν αντί του μετασχηματισμού k\rightarrow k^{a} ισχύει ο μετασχηματισμός (δηλ. ο στιγμιαίος ανατοκισμός του διαθέσιμου πόρου με στιγμιαίο σταθερό στον χρόνο επιτόκιο r) 
 0   0
Σχόλια (0)