Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Ιστολόγιο

Σύνοψη Διαλέξεων 15ης-16ης (2019-20)

Δευτέρα, 16 Δεκεμβρίου 2019 - 2:14 μ.μ.
- από τον χρήστη ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ ΣΤΥΛΙΑΝΟΣ

Ξεκινήσαμε να χρησιμοποιούμε την καταχρηστική ορολογία που χρησιμοποιείται γενικότερα στις σχετικές βιβλιογραφίες περί "σύγκλισης σειρών".

Προκειμένου για την διατύπωση ευχερούς αλγορίθμου για την διακρίβωση του αν δεδομένη σειρά είναι συγκλίνουσα, ασχοληθήκαμε με  εκλέπτυνση της σύγκλισης σειρών, εν προκειμένω με την έννοια της απόλυτης σύγκλισης. Δείξαμε ότι πρόκειται περί γνήσιας εκλέπτυνσης, ενώ αναφέραμε εν συντομία το Θεώρημα Σειρών του Riemann και το ότι ανν έχουμε απόλυτη σύγκλιση η αναδιάταξη των όρων της σειράς δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα. 

Μέσω του παραπάνω μπορέσαμε και διατυπώσαμε το Κριτήριο του Πηλίκου το οποίο (σε κάποιες περιπτώσεις) αποφαίνεται για το αν δεδομένη σειρά συγκλίνει απολύτως ή αποκλίνει  και ξεκινήσαμε να εργαζόμαστε με αυτό.

Παρατηρήσαμε ότι επί της ουσίας λειτουργεί μέσω της σύγκρισης με γεωμετρική σειρά ο συντελεστής της οποίας σχετίζεται με το όριο της βοηθητικής ακολουθίας των πηλίκων των απολύτων τιμών των διαδοχικών όρων. Συνεπώς αναμένουμε ότι όταν τέτοια σύγκριση είναι αδύνατη (π.χ. σε υπεραρμονικές σειρές) το κριτήριο αναμένεται να είναι μη πληροφοριακό. Μέσω παραδειγμάτων είδαμε ότι η περίπτωση της μη πληροφοριακότητας είναι δυνατόν να αφορά κατά συνθήκη σύγκλιση, κάτι αναμενόμενο, απόκλιση αλλά και απόλυτη σύγκλιση. Συνεπώς είναι γενικά αδύνατο να συνάγουμε κάτι για την συμπεριφορά σειράς για την οποία το κριτήριο είναι μη πληροφοριακό χρησιμοποιώντας μόνο το κριτήριο. Παρατηρήσαμε επίσης ότι υπάρχουν εκλεπτύνσεις του κριτηρίου που είναι δυνατόν να μας πληροφορούν για την συμπεριφορά δεδομένης σειράς είτε όταν το όριο της βοηθητικής ακολουθίας δεν υπάρχει, είτε όταν αυτό ισούται με ένα

Ξεκινήσαμε να εργαζόμαστε σε απλά παραδείγματα εμφάνισης των εννοιών των πραγματικών ακολουθιών, της διαδικασίας μερικής άθροισης και των πραγματικών σειρών στα οικονομικά. Το πρώτο παράδειγμα αφορά σε περιοριστικό ορισμό και τιμολόγηση χρηματοοικονομικού τίτλου. 

Πρόχειρες σημειώσεις (και κάποιες ασκήσεις) για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ, και εδώ.

Ασκήσεις (προσπαθήστε να λύσετε τις 1-4 χρησιμοποιώντας αποκλειστικά το κριτήριο του πηλίκου).

  1. Δείξτε ότι η σειρά \sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i}}{i!} συγκλίνει για κάθε x\geq 0.
  2. Δείξτε ότι η σειρά \sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{(i+1)^m},\: 0\leq m <1 αποκλίνει.
  3. Δείξτε ότι η σειρά \sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i^{m})) για όποιο m>1 συγκλίνει. Υπόδειξη: Μπορείτε να συσχετίσετε την συμπεριφορά της εν λόγω σειράς με την ανάλογη υπεραρμονική. Μπορείτε για μεγαλύτερη ευκολία να ασχοληθείτε με την \sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i+1)^{m})) ή/και να δείτε την προηγούμενη μόνο για m=2).
  4. Δείξτε ότι η σειρά \sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(i)+1} αποκλίνει.
  5. Επινοήστε όσο το δυνατόν περισσότερες σειρές και προσπαθήστε να διαπιστώσετε το αν συγκλίνουν χρησιμοποιώντας πλέον αποκλειστικά το κριτήριο. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε και αυτές που αναφέρονται σε παλαιότερες αναρτήσεις.
 0   0
Σχόλια (0)