Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Προκειμένου για την διατύπωση περαιτέρω στοιχείων του λογισμού των ορίων μεταγράψαμε τον αρχικό γεωμετρικό ορισμό του ορίου σε ισοδύναμο αναλυτικό ορισμό, χρησιμοποιώντας τους ποσοδείκτες ("υπάρχει" και "για κάθε" ) και ανισότητες. Είδαμε πως εφαρμόζεται αυτός σε παραδείγματα και αντιπαραδείγματα και προχωρήσαμε μέσω της χρήσης του στην διακρίβωση της σχέσης της σύγκλισης με τις αλγεβρικές πράξεις που έχουμε μελετήσει για πραγματικές ακολουθίες. Παρατηρώντας ότι η χρήση μέρους του λογισμού έχει να κάνει με την διευκόλυνση της εξακρίβωσης του ζητήματος σύγκλισης (και ενδεχομένως της συνακόλουθης εύρεσης του ορίου) για ακολουθίες που απατελούν κατάλληλους μετασχηματισμούς ακολουθιών των οποίων η ασυμπτωτική συμπεριφορά είναι γνωστή, αναφερθήκαμε καταλήγωντας στον μετασχηματισμό ακολουθιών μέσω σύνθεσης με κατάλληλες συναρτήσεις, και συνακόλουθα στην αρχή της μεταφοράς. Χρησιμοποιήσαμε πολλές από τις έννοιες που έχουμε μέχρι τώρα εξάγει στην μελέτη της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς χρήσιμων στα παρακάτω παραδειγμάτων που σχετίζονται με την γεωμετρική σειρά.

Ακολούθως, και ξεκινώντας την ενασχόληση μας με τις πραγματικές σειρές, προσπαθώντας να εννοιολογήσουμε το απειροπληθές άθροισμα είδαμε ότι γενικά αυτό είναι αδύνατο μέσω της άλγεβρας. Ξεκινήσαμε την εννοιολόγηση ορίζοντας την έννοια της ακολουθίας μερικών αθροισμάτων δεδομένης πραγματικής ακολουθίας που περικλείει του συντελεστές του αθροίσματος. Αυτή μπορεί να θεωρηθεί ως διαδικασία "ολοκλήρωσης ", ενώ η ζητούμενη έννοια της σειράς ως προς την ακολουθία των συντελεστών είναι το όριο αυτής όταν αυτό υπάρχει. Εξετάσαμε παραδείγματα μεταξύ των οποίων αυτά της γεωμετρικής, της αρμονικής, της εναλλάσουσας αρμονικής και της υπεραρμονικής ακολουθίας μερικών αθροισμάτων (και συνακόλουθα σειρών όπου αυτές υπάρχουν). Παρατηρήσαμε ότι με την εξαίρεση παραδειγμάτων όπως αυτό της γεωμετρικής σειράς, όπου ήταν "εύκολο" να βρεθεί και να ελεγχθεί ως προς την σύγκλιση γενικός τύπος για την μερική άθροιση, και κάπως δυσκολότερα αυτό της αρμονικής σειράς, όπου βρήκαμε μέσω ολοκλήρωσης μη φραγμένη ακολουθία που φράσσει "από κάτω" την ακολουθία μερικών αθροισμάτων δείχνοντας τελικά ότι η αρμονική σειρά δεν υπάρχει, γενικά τα ζητήματα α) της ύπαρξης δεδομένης σειράς και β) της εύρεσης του με τι ισούται όταν υπάρχει, εμφανίζουν δυσκολίες στην γενική τους επίλυση ανάλογες με αυτές των διαδικασιών ολοκλήρωσης.

Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Ασκήσεις

1. Εξάγετε τις αποδείξεις όλων των αποτελεσμάτων αντικαθιστώντας στον ορισμό του ορίου τα ανοικτά με κλειστά διαστήματα.
2. Δείξτε το Λήμμα (Μοναδικότητα) αποκλειστικά μέσω του αναλυτικού ορισμού.
3. Δείξτε ότι συγκλίνουσα ακολουθία με κάτω φράγμα το 1 δεν μπορεί να έχει όριο μικρότερο του 1.
4. Δείξτε ότι συγκλίνουσα ακολουθία με άνω φράγμα το 1 δεν μπορεί να έχει όριο μεγαλύτερο του 1.
5. Δείξτε ότι το όριο συγκλίνουσας ακολουθίας δεν μπορεί να είναι μικρότερο από το inf και μεγαλύτερο από το sup αυτής.
6. Να δείξετε μόνο μέσω του αναλυτικού ορισμού ότι η συγκλίνει στο 1.
7. Να δείξετε μόνο μέσω του αναλυτικού ορισμού ότι η δεν συγκλίνει σε όποιον πραγματικό διάφορο του 1.
8. Να δείξετε ότι το γινόμενο φραγμένης με συγκλίνουσα στο μηδέν ακολουθία είναι ακολουθία που επίσης συγκλίνει στο μηδέν. Θα ήταν δυνατόν να συμβαίνει κάτι τέτοιο ακόμη και αν η πρώτη δεν ήταν φραγμένη αλλά αποκλίνουσα;
9. Να οριστεί αυστηρά η αντίστροφη της διαδικασίας μερικής άθροισης.
10. Έστω ακολουθία με αυστηρά θετικούς όρους. Δείξτε ότι η ακολουθία μερικών αθροισμάτων αυτής είναι γνησίως αύξουσα. Το αντίστροφο ισχύει;
11. Χρησιμοποιώντας την γεωμετρική σειρά, και χωρίς να ασχοληθείτε με το αν μπορείτε να την «παραγωγίσετε» ως προς προσπαθήστε να βρείτε την όταν .
12. Αν   υπάρχουσες γεωμετρικές σειρές τότε με τι ισούται η και γιατί;
13. Να δείξετε ότι κάθε άθροισμα πεπερασμένου πλήθους όρων είναι δυνατόν να γραφεί ως κάταλληλη σειρά.