Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Συνεχίζοντας τα προηγούμενα αποδειξαμε και διατυπώσαμε σημαντική ιδιότητα των ακολουθιών που είναι ταυτόγχρονα φραγμένες και μονότονες και η οποία σχετίζεται με μια μορφή "ασυμπτωτικής συγκέντρωσης" όποιας φραγμένης και αύξουσας ακολουθίας "γύρω από" το sypremum της και δυικά με την ίδια μορφή "ασυμπτωτικής συγκέντρωσης" όποιας φραγμένης και φθίνουσας ακολουθίας "γύρω από" το infimum της.

Το παραπάνω μας προετοίμασε για την ακριβή (καταρχάς γεωμετρική) διατύπωση της έννοιας του ορίου πραγματικής ακολουθίας. Μέσω αυτής διαπιστώσαμε ότι υπάρχουν τόσο συγκλίνουσες (π.χ. οι φραγμένες και μονότονες) όσο και αποκλίνουσες ακολουθίες, ότι όταν το όριο υπάρχει είναι μοναδικό, και ξεκινήσαμε την εξαγωγή μιας σειράς από αποτελέσματα που συγκροτούν ένα μικρό μέρος του (ατελούς) λογισμού που χρησιμεύει στην διακρίβωση του αν μια ακολουθία είναι συγκλίνουσα, ή/και όταν είναι, στην εύρεση του ορίου αυτής. Έπι παραδείγματι, μέσω της χρήσης του γεωμετρικού ορισμού είδαμε ότι αν μια ακολουθία είναι συγκλίνουσα είναι και φραγμένη οπότε ισοδύναμα αν μια ακολουθία είναι μη φραγμένη τότε αναγκαστικά είναι αποκλίνουσα, ή ότι όταν μια συγκλίνουσα ακολουθία έχει μη αρνητικούς όρους,τότε το όριο της δεν μπορείνα είναι αρνητικό, ή ότι το ζήτημα της σύγκλισης της ακολουθίας δεν επηρεάζεται καθόλου από την συμπεριφορά όποιου πεπερασμένου μέρους της ακολουθίας.

Παρατηρήσαμε ότι η διατύπωση στοιχείων αυτού του λογισμού θα είναι πιο ευχερής αν έχουμε στην διάθεση μας κάποιον ισοδύναμο αναλυτικό ορισμό του ορίου, τον οποίο αφού διατυπώσαμε θα εξηγήσουμε στις επόμενες διαλέξεις.

Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω και ασκήσεις μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Περαιτέρω Ασκήσεις:

1. Να δειχθεί ότι αν μια ακολουθία είναι φθίνουσα και φραγμένη, τότε σε κάθε ανοικτό διάστημα με κέντρο το infimum της θα περιέχει σχεδόν όλη την ακολουθία, με το πλήθος των όρων που βρίσκονται εκτός αυτού να μπορεί να εξαρτάται από το διάστημα. Θα άλλαζε το συμπέρασμα αν χρησιμοποιούσαμε τα κλειστά αντι των ανοικτών διαστήματα;
2. Χρησιμοποιώντας τον γεωμετρικό ορισμό του ορίου να δειχθεί ότι κάθε υπακολουθία συγκλίνουσας ακολουθίας συγκλίνει επίσης στο ίδιο όριο.
3. Έστω συγκλίνουσα ακολουθία όπου κάθε όρος της οποίας είναι μεγαλύτερος ή ίσος του πραγματικού αριθμού C. Να δειχθεί ότι το όριο είναι επίσης μεγαλύτερο ή ίσο του C.
4. Έστω συγκλίνουσα ακολουθία όπου κάθε όρος της οποίας είναι μικρότερος ή ίσος του πραγματικού αριθμού C. Να δειχθεί ότι το όριο είναι επίσης μικρότερο ή ίσο του C.
5. 'Εστω ακολουθία για την οποία οι απόλυτες τιμές σχεδόν όλων των όρων είναι μεγαλύτερες ή ίσες των απολύτων τιμών των αντίστοιχων όρων ακολουθίας που δεν είναι φραγμένη. Να δειχθεί ότι η αρχική ακολουθία είναι αποκλίνουσα.