Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Ασχοληθήκαμε περαιτέρω με την έννοια της φραγής. "Γενικεύσαμε" την έννοια στην σχεδόν παντού φραγή με τον προφανή τρόπο και παρατηρήσαμε την ισοδυναμία μεταξύ των δύο εννοιών. Δείξαμε ότι η ισοδυναμία αυτή μπορεί να είναι χρήσιμη στην εξαγωγή αποτελεσμάτων που π.χ. αποδίδουν την ιδιότητα της φραγής σε πραγματική ακολουθία μέσω κατάλληλης (σχεδόν παντού) σύγκρισης με φραγμένη ακολουθία, κ.ο.κ.

Παρατηρήσαμε ότι η διάταξη με την οποία εμφανίζονται οι όροι μιας πραγματικής ακολουθίας μέσα σε αυτή δεν συμφωνεί αναγκαστικά με την διάταξη τους στην πραγματική ευθεία. Όταν οι δύο αυτές διατάξεις σχετίζονται μονότονα αποκτούμε την έννοια της μονότονης ακολουθίας. Έτσι, και χρησιμοποιώντας τον ορισμό της μονότονης πραγματικής συνάρτησης, διερευνήσαμε ζητήματα μονοτονίας για τις πραγματικές ακολουθίες. Δείξαμε επίσης ότι η μονοτονία προκύπτει ισοδύναμα από την σύγκριση μεταξύ των όρων σε κάθε ζεύγος διαδοχικών όρων της ακολουθίας. Παρατηρήσαμε ότι οι (γνησίως) αύξουσες ακολουθίες είναι αναγκαστικά φραγμένες από κάτω, ενώ δυικά οι (γνησίως) φθίνουσες ακολουθίες είναι αναγκαστικά φραγμένες από πάνω. Παρόλα αυτά υπάρχουν μονότονες ακολουθίες που δεν είναι φραγμένες ακριβώς επειδή τους λείπει η ύπαρξη του έτερου φράγματος, ενώ υπάρχουν και ακολουθίες που δεν είναι ούτε μονότονες ούτε και φραγμένες.

Όταν όμως μια ακολουθία συνδυάζει και τις δύο ανωτέρω ιδιότητες τότε διαθέτει ένα ενδιαφέρον χαρακτηριστικό το οποίο θα μας βοηθήσει στην νοηματοδότηση του ορίου. Ξεκινήσαμε να το αναπτύσσουμε χρησιμοποιώντας το γενικό παράδειγμα φραγμένης και αύξουσας ακολουθίας.

Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω όπως και κάποιες ασκήσεις μπορείτε να βρείτε εδώ.

Περαιτέρω Ασκήσεις:

1. Να δειχθεί ότι για κάθε μονότοτονη ακολουθία, κάθε υπακολουθία αυτής έχει την ίδια ή ισχυρότερη μονοτονία.
2. Nα δειχθεί ότι αν οι  είναι αύξουσες, τότε και η είναι (ενδεχομένως γνησίως) αύξουσα.