Σύνοψη 5ης Διάλεξης (2019-20)
Ασχοληθήκαμε περαιτέρω με την έννοια της φραγής. Δείξαμε π.χ. ότι οι αλγεβρικές πράξεις διατηρούν την φραγή (έτσι π.χ. το σύνολο των φραγμένων πραγματικών ακολουθιών είδαμε ότι αποτελεί διανυσματικό υποχώρο του συνόλου των πραγματικών ακολουθιών ως προς τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτου πολλαπλασιασμού), ενώ το άθροισμα φραγμένης με μη φραγμένη ακολουθία είναι μη φραγμένη ακολουθία.
Δείξαμε ότι η ιδιότητα της φραγής δεν προσδιορίζεται από κανένα πεπερασμένο υποσύνολο της ακολουθίας αλλά εξαρτάται από την συμπεριφορά του υπόλοιπου απειροπληθούς μέρους της. Αυτό θα μας επιτρέψει να "γενικεύσουμε" την έννοια στην σχεδόν παντού φραγή με τον προφανή τρόπο και να δείξουμε την ισοδυναμία των δύο εννοιών. Αυτό μπορεί να είναι χρήσιμο στην εξαγωγή αποτελεσμάτων που π.χ. αποδίδουν την ιδιότητα της φραγής σε πραγματική ακολουθία μέσω κατάλληλης (σχεδόν παντού) σύγκρισης με φραγμένη ακολουθία, κ.ο.κ.
Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω όπως και κάποιες ασκήσεις μπορείτε να βρείτε εδώ.
Περαιτέρω Ασκήσεις:
- Να δειχθεί ότι αν οι
φραγμένες τότε και η
φραγμένη.
- Να δειχθεί ότι η ακολουθία
δεν είναι φραγμένη.
1 
0
Σχόλια (0)