Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Χρησιμοποιώντας τον διανυσματικό ορισμό εξετάσαμε την έννοια της ισότητας πραγματικών ακολουθιών η οποία και αποτελεί κατά "φυσικό τρόπο" επέκταση της έννοιας της ισότητας πραγματικών διανυσμάτων. Εξετάσαμε συνοπτικά μια γενίκευση αυτής, η οποία επιτρέπει την συσχέτιση δύο πραγματικών ακολουθιών ως σχεδόν παντού ίσες ακόμη και όταν έχουν διαφορετικές συνιστώσες σε πεπερασμένο πλήθος θέσεων. Παρατηρήσαμε ότι η σχεδόν παντού ισότητα περιλαμβάνει την συνήθη ισότητα ως υποπερίπτωση, είναι και αυτή αυτοπαθής, συμμετρική και μεταβατική (γιατί;), ενώ μπορεί να μας είναι χρήσιμη σε περιπτώσεις που είναι δυνατόν η συμπεριφορά μιας πραγματικής ακολουθίας σε πεπερασμένο πλήθος θέσεων να θεωρείται αμελητέα. Γενικεύοντας θεωρήσαμε ότι μια ιδιότητα P θα ικανοποιείται σχεδόν παντού από μια πραγματική ακολουθία αν και μόνο αν όλοι οι όροι αυτής ικανοποιούν την P εκτός από πεπερασμένο πλήθος αυτών.

Εξετάσαμε παραδείγματα πράξεων μεταξύ ακολουθιών όπως η κατά σημείο πρόσθεση και ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός (ως προς αυτές το σύνολο των πραγματικών ακολουθιών είναι διανυσματικός χώρος) καθώς και την πράξη του σημειακού πολλαπλασιασμού.

Στην συνέχεια και χρησιμοποιώντας τον συναρτησιακό ορισμό ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με αναλυτικές ιδιότητες που μπορεί να έχουν πραγματικές ακολουθίες. Έτσι, διερευνώντας με λεπτομέρεια τον ορισμό του φραγμένου υποσυνόλου των πραγματικών, συνακόλουθα της φραγμένης πραγματικής συνάρτησης και παραλλαγών αυτού, καταλήξαμε στο πότε μια πραγματική ακολουθία έχει την ιδιότητα της φραγής, και ασχοληθήκαμε με παραδείγματα και άντι-παραδείγματα. 

Πρόχειρες σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Περαιτέρω Ασκήσεις

1. Να δειχθεί ότι αν για τρείς ακολουθίες, η πρώτη είναι σχεδόν παντού ίση με την δεύτερη, και η δεύτερη είναι σχεδόν παντού ίση με την τρίτη, τότε το πλήθος των θέσεων που μπορεί να έχουν διαφορετικούς όρους η πρώτη και η τρίτη είναι μικρότερο ίσο από το άθροισμα του αντίστοιχου πλήθους μεταξύ πρώτης και δεύτερης και αυτού μεταξύ δεύτερης και τρίτης.

2. Ως προς την παραπάνω άσκηση, να βρεθούν παραδείγματα όπου το πλήθος των θέσεων που μπορεί να έχουν διαφορετικούς όρους η πρώτη και η τρίτη, α) είναι μηδέν, β) είναι θετικό αλλά αυστηρά μικρότερο του παραπάνω αθροίσματος, γ) είναι θετικό και ίσο με το παραπάνω άθροισμα.

3. Να δειχθεί ότι η σχεδόν παντού ισότητα είναι μεταβατική.

4. Να βρεθεί παράδειγμα πραγματικής ακολουθίας όπου η ιδιότητα P δεν ισχύει για θετικό αλλά πεπερασμένο πλήθος όρων, όταν α) P="ο πραγματικός x είναι άρτιος φυσικός", β) α) P="ο πραγματικός x είναι άρρητός".

5. Για P όπως στην προηγούμενη άσκηση, να βρεθεί παράδειγμα πραγματικής ακολουθίας όπου η ιδιότητα P ισχύει για άπειρο πλήθος όρων, και ταυτόγχρονα δεν ισχύει για άπειρο πλήθος όρων.

6. Τι συμπεραίνετε από την χρήση της έννοιας της σχεδόν παντού ισότητας σε n-διάστατα πραγματικά διανύσματα;

7. Να βρεθεί πραγματική ακολουθία που είναι φραγμένη από πάνω αλλά όχι από κάτω.

8. Να δειχθεί ότι όποια πραγματική ακολουθία έχει όρους που ανήκουν σε σύνολο πεπερασμένου πλήθους είναι φραγμένη.

9. Να βρεθεί μη φραγμένη πραγματική ακολουθία η οποία να έχει φραγμένη υπακολουθία (για τον ορισμό δείτε την Άσκηση 1 εδώ).

Σημειώση: Η 5 μας επισημαίνει ότι το να ικανοποιείται κάποια ιδιότητα P σχεδόν παντού από μια πραγματική ακολουθία είναι ισχυρότερο από το να ικανοποιείται "απλώς" από άπειρο πλήθος όρων αυτής.