Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Ασχοληθήκαμε με το ζήτημα ύπαρξης και εύρεσης του ορισμένου ολοκληρώματος δυναμοσειράς με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης, και είδαμε ότι αυτό προκύπτει από το αόριστο βάσει του Θεμελιώδους Θεωρήματος του Λογισμού εφόσον τα όρια της ολοκλήρωσης ανήκουν στο διάστημα σύγκλισης (προσοχή! αυτή είναι και η σωστή συνθήκη, που διορθώνει τη συνθήκη που αναφέρεται στις σημειώσεις η οποία λέει ότι το ανοικτό διάστημα που συγκροτείται από τα όρια της ολοκλήρωσης πρέπει να είναι υποσύνολο του διαστήματος σύγκλισης-γιατί αυτό μπορεί να είναι ανακριβές;). Παρατηρήσαμε ότι και αυτό είναι δυνατόν να είναι επιβοηθητικό π.χ. στην εύρεση πραγματικών σειρών.

Περνώντας σε εφαρμογές δυναμοσειρών είδαμε εν συντομία κάποιες βασικές έννοιες που αφορούν στις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις. Παρατηρήσαμε ότι συνήθως λύσεις αυτών βρίσκονται μέσω περίπλοκων διαδικασιών ολοκλήρωσης (που συνδυάζονται με κατάλληλους μετασχηματισμούς) και ότι εφόσον η ολοκλήρωση είναι γενικά υπολογιστικά πολύπλοκη, προκύπτει εύλογα το ερώτημα αν είναι δυνατόν σε κάποιες περιπτώσεις να αποφευχθεί μέσω διαδικασίών εύρεσης λύσεων ενδεχομένως μικρότερης πολυπλοκότητας. Οδηγηθήκαμε έτσι σε μια εισαγωγή στην Μέθοδο των Δυναμοσειρών για την εύρεση λύσεων.

Η μέθοδος ανάγεται στην επίλυση απειροπληθούς συστήματος από αναδρομικές σχέσεις για την εύρεση των άγνωστων συντελεστών της δυναμοσειράς. Αυτό προκύπτει από την μορφή της εξίσωσης, την μορφή που έχουν οι παράγωγοι δυναμοσειράς με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης, και από την έννοια της ισότητας δυναμοσειρών. Είναι δε δυνατόν να είναι ευκολότερα επιλύσιμο από την ολοκλήρωση. Το σύστημα δεν θα εμπεριέχει εξ'ορισμού πληροφορία για κάποιους από τους συντελεστές της εξίσωσης το πλήθος των οποίων θα ταυτίζεται με την τάξη της, και οι οποίοι θα αναπαριστούν τις σχετικές σταθερές ολοκλήρωσης. Ασχοληθήκαμε με την εφαρμογή της μεθόδου στην κατηγορία των γραμμικών εξισώσεων πρώτης τάξης, με σταθερούς συντελεστές και όρο, και χρησιμοποιήσαμε τα ευρήματά μας σε εφαρμογή για την ασυμπτωτική ευστάθεια αγοράς με σχετικά απλή δυναμική συμπεριφορά. Ασχοληθήκαμε επίσης, και με παράδειγμα γραμμικής πρώτης τάξης με σταθερούς συντελεστές και γραμμικό όρο.

Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ, εδώ, και  εδώ , ενώ εδώ μπορείτε να βρείτε παράδειγμα εύρεσης λύσεων σε γραμμική εξίσωση δεύτερης τάξης.    

Περαιτέρω Ασκήσεις.

1. Να βρεθούν τα αόριστα ολοκληρώματα για τις παρακάτω δυναμοσειρές (αγνοήστε το ζήτημα του αν αυτές έχουν ή όχι εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης-γιατί είναι δυνατόν να το κάνετε;):

1. ,
2. ,
3. ,
4. ,
5. .

2. Για ποιές από τις παραπάνω περιπτώσεις τα ολοκληρώματα είναι καλώς ορισμένα;

3. Για αυτές που είναι καλώς ορισμένα να βρεθούν τα αόριστα ολοκληρώματα με κάτω όριο το κέντρο της δυναμοσειράς και άνω όριο το ενδιάμεσο σημείο μεταξύ του κέντρου και του δεξιού άκρου του διαστήματος σύγκλισης.

4. Να βρεθούν αν υπάρχουν λύσεις που έχουν την μορφή δυναμοσειρών με κέντρο το μηδέν, με την μέθοδο των δυναμοσειρών για τις παρακάτω:

1. ,
2. .