Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Το θεώρημα της παραγωγισιμότητας συνεπάγεται άμεσα ότι οι δυναμοσειρές με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης είναι ομαλές συναρτήσεις στο εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης τους. Εργαστήκαμε για την εξαγωγή της μορφής των παραγώγων αυθαίρετης τάξης βασιζόμενοι και στην μορφή της κ-τάξης παραγώγου πολυωνυμικής συνάρτησης και είδαμε εφαρμογές στα πλαίσια της γεωμετρικής σειράς. Υπολογίζοντας τις παραγώγους στο κέντρο (γιατί είναι δυνατόν αυτό;), αποκτήσαμε αναπαραστάσεις των συντελεστών της δυναμοσειράς ως προς τις τελευταίες, και απαρατηρήσαμε ότι οι δυναμοσειρές ικανοποιούν μια "γενικευμένη εκδοχή του θεωρήματος Taylor", ρίχνοντας έτσι μια επιφανειακή ματιά στην θεωρία των αναλυτικών συναρτήσεων. 

Ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με το παραμφερές ζήτημα της ολοκληρωσιμότητας δυναμοσειρών με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης. Είδαμε ότι το αόριστο ολοκλήρωμα τέτοιας υπάρχει, είναι δυναμοσειρά με το ίδιο κέντρο, και το ίδιο εσωτερικό διαστήματος σύγκλισης και προκύπτει με την όρο προς όρο ολοκλήρωση της αρχικής. Επομένως και εξαιτίας του τελευταίου αυτές είναι εύκολα ολοκληρώσιμες συναρτήσεις ενώ θυμηθείτε η ολοκλήρωση είναι διαδικασία πιθανόν περιπλοκότερη από την παραγώγιση. Εξάγαμε έτσι τον γενικό τύπο του ολοκληρώματος.

Συνεχίσαμε με το ζήτημα ολοκληρωσιμότητας δυναμοσειρών με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης παρατηρώντας ότι ο τρόπος της ολοκλήρωσης μας επιτρέπει (γιατί;) να έχουμε μια μοναδική σταθερά ολοκλήρωσης (όπως άλλωστε θα περιμέναμε) συνδυάζοντας τις σταθερές που προκύπτουν από την όρο προς όρο ολοκλήρωση σε μία. Εργαζόμενοι για μια ακόμη φορά με την γεωμετρική σειρά και το θεώρημα ολοκλήρωσης, αποκτήσαμε παράδειγμα όπου (α) η αρχική δυναμοσειρά και το ολοκλήρωμα ή η παράγωγος έχουν διαφορετικά διαστήματα σύγκλισης, (β) μέσω των παραπάνω, του θεωρήματος συνέχειας και του Αβελιανού Θεωρήματος για δυναμοσειρές (το οποίο προφανώς είναι εκτός του εύρους του μαθήματος) δείξαμε ότι η εναλλάσουσα αρμονική σειρά ισούται με ln(2), και αποκτήσαμε μια αναπαράσταση της λογαριθμικής συνάρτησης από δυναμοσειρά με κέντρο το 1 και διάστημα σύγκλισης το (0,2]. 

Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Περαιτέρω Ασκήσεις

Α. Να βρεθούν οι παράγωγοι 2ης και 3ης τάξης για όσες από τις παρακάτω δυναμοσειρές είναι καλώς ορισμένες:

1. ,
2. ,
3. ,
4. ,
5. .

Β. Να βρεθούν τα αόριστα ολοκληρώματα για τις παραπάνω δυναμοσειρές (αγνοήστε το ζήτημα του αν αυτές έχουν ή όχι εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης-γιατί είναι δυνατόν να το κάνετε;).

Γ. Για ποιές από τις παραπάνω περιπτώσεις τα ολοκληρώματα είναι καλώς ορισμένα;