Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας με την λειτουργία του κριτηρίου του πηλίκου. Μέσω σκιαγράφησης μέρους της απόδειξης του, παρατηρήσαμε ότι επί της ουσίας λειτουργεί μέσω της σύγκρισης με γεωμετρική σειρά ο συντελεστής της οποίας σχετίζεται με το όριο της βοηθητικής ακολουθίας των πηλίκων των απολύτων τιμών των διαδοχικών όρων. Συνεπώς αναμένουμε ότι όταν τέτοια σύγκριση είναι αδύνατη (π.χ. σε υπεραρμονικές σειρές) το κριτήριο αναμένεται να είναι μη πληροφοριακό. Μέσω παραδειγμάτων είδαμε ότι η περίπτωση της μη πληροφοριακότητας είναι δυνατόν να αφορά κατά συνθήκη σύγκλιση, κάτι αναμενόμενο, απόκλιση αλλά και απόλυτη σύγκλιση. Συνεπώς είναι γενικά αδύνατο να συνάγουμε κάτι για την συμπεριφορά σειράς για την οποία το κριτήριο είναι μη πληροφοριακό χρησιμοποιώντας μόνο το κριτήριο. Παρατηρήσαμε επίσης ότι υπάρχουν εκλεπτύνσεις του κριτηρίου που είναι δυνατόν να μας πληροφορούν για την συμπεριφορά δεδομένης σειράς είτε όταν το όριο της βοηθητικής ακολουθίας δεν υπάρχει, είτε όταν αυτό ισούται με ένα. Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Συνεχίσαμε την εισαγωγική μας ενασχόληση με τις πραγματικές σειρές εργαζόμενοι σε απλό οικονομικό υπόδειγμα που αφορά στην νομισματική θεωρία  όπου συναντάμε τις έννοιες της πραγματικής ακολουθίας και της πραγματικής σειράς. Αυτό αφορά στην δημιουργία χρήματος από τις θεμελιώδεις λειτουργίες του τραπεζικού συστήματος, το οποίο αποτελείται από την κεντρική και τις εμπορικές τράπεζες και στο οποίο υπάρχει η τεχνολογία των κλασματικών διαθεσίμων. Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Περαιτέρω Ασκήσεις

1. Επινοήστε όσο το δυνατόν περισσότερες σειρές και προσπαθήστε να διαπιστώσετε το αν συγκλίνουν χρησιμοποιώντας το κριτήριο. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε και αυτές που αναφέρονται σε παλαιότερες αναρτήσεις.
2. Να δείξετε ότι αν η ακολουθία των πηλίκων των διαδοχικών όρων είναι φραγμένη από πάνω από φράγμα μικρότερο του 1 τότε η σειρά συγκλίνει απολύτως.
3. Να δείξετε ότι η ακολουθία των πηλίκων των διαδοχικών όρων είναι φραγμένη από κάνω από φράγμα μεγαλύτερο του 1 τότε η σειρά αποκλίνει.
4. Προσπαθήστε να ερμηνεύσετε αυστηρά στα πλαίσια της οικονομικής θεωρίας το τι θα συνέβαινε  στο άνω φράγμα της συνολικής προσφοράς χρήματος αν οι εμπορικές τράπεζες δεν είχαν υποχρέωση διακράτησης ρευστών διαθεσίμων ();
5. Στην σελίδα 6 εδώ από παραδρομή έχουμε ταύτιση των παραδειγμάτων 3 και 5. Στο 5 αντικαταστήστε την εμφανιζόμενη σειρά με την . Χρησιμοποιήστε το κριτήριο του πηλίκου προκειμένου να αποφανθείτε για το ζήτημα της απόλυτης σύγκλισης της σειράς.