Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Στα προηγούμενα, ασχοληθήκαμε με ασκήσεις όπου καλούμασταν να αποφανθούμε για το αν δεδομένη σειρά συγκλίνει. Σε αυτές η φραγή της σχετικής Α.Μ.Α. προέκυπτε από την επιλογή κατάλληλης πραγματικής ακολουθίας η οποία δεν ήταν γενικά προφανής. Κατανοήσαμε έτσι την ανάγκη ύπαρξης "υπολογιστικά απλού" τρόπου διαπίστωσης της σύγκλισης σε κάποιες τουλάχιστον περιπτώσεις.

Στα πλαίσια του παραπάνω, συνεχίσαμε με την εξέταση στοιχείων του λογισμού σειρών, χρησιμοποιώντας πλέον την καταχρηστική ορολογία που χρησιμοποιείται γενικότερα στις σχετικές βιβλιογραφίες περί "σύγκλισης σειρών". Έτσι, π.χ. παρουσιάσαμε ζητήματα άλγεβρας συγκλινουσών σειρών, σχετίσαμε το ζήτημα της σύγκλισης σειράς με την σύγκλισης της σειράς που προκύπτει αν από την αρχική εξαιρέσουμε πεπερασμένο πλήθος των αρχικών της όρων, διαπιστώσαμε το πως μπορούμε να μετασχηματίζουμε δείκτες άθροισης χρησιμοποιώντας γνησίως αύξοντες μετασχηματισμούς κ.ο.κ.

Προκειμένου για την διατύπωση του σχετικού αλγορίθμου η επιλογή του οποίου έγινε και λόγω της χρησιμοτητάς στα παρακάτω, ασχοληθήκαμε με μια εκλέπτυνση της σύγκλισης σειρών, εν προκειμένω με την απόλυτη σύγκλιση. Δείξαμε ότι πρόκειται περί γνήσιας εκλέπτυνσης, ενώ η σύντομη μας αναφορά στο Θεώρημα Σειρών του Riemann και στο ότι ανν έχουμε απόλυτη σύγκλιση η αναδιάταξη των όρων της σειράς δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα, μας βοηθά να γενικεύσουμε τα των μετασχηματισμών των δεικτών στο να ισχύουν και για απλώς 1-1 και επί μετασχηματισμούς όταν η σειρά συγκλίνει απολύτως. 

Έτσι μπορέσαμε και  διατυπώσαμε το Κριτήριο του Πηλίκου το οποίο (σε κάποιες περιπτώσεις) αποφαίνεται για το αν δεδομένη σειρά συγκλίνει απολύτως ή αποκλίνει (π.χ. αναμένουμε να είναι μη πληροφοριακό όταν η σειρά συγκλίνει κατά συνθήκη-ενώ θα δούμε ότι δεν είναι μόνο τότε) και ξεκινήσαμε να εργαζόμαστε με αυτό.

Πρόχειρες σημειώσεις (και κάποιες ασκήσεις) για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ, και εδώ.

Ασκήσεις (προσπαθήστε να λύσετε τις 1-4 τόσο χρησιμοποιώντας όσο και μη χρησιμοποιώντας το κριτήριο του πηλίκου).

1. Δείξτε ότι η σειρά συγκλίνει για κάθε .
2. Δείξτε ότι η σειρά αποκλίνει.
3. Δείξτε ότι η σειρά για όποιο συγκλίνει. Υπόδειξη: Μπορείτε να συσχετίσετε την συμπεριφορά της εν λόγω σειράς με την ανάλογη υπεραρμονική. Μπορείτε για μεγαλύτερη ευκολία να ασχοληθείτε με την ή/και να δείτε την προηγούμενη μόνο για m=2).
4. Δείξτε ότι η σειρά αποκλίνει.
5. Επινοήστε όσο το δυνατόν περισσότερες σειρές και προσπαθήστε να διαπιστώσετε το αν συγκλίνουν χρησιμοποιώντας πλέον αποκλειστικά το κριτήριο. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε και αυτές που αναφέρονται σε παλαιότερες αναρτήσεις.