Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Ασχοληθήκαμε περαιτέρω με την έννοια της φραγής. Δείξαμε π.χ. ότι οι αλγεβρικές πράξεις διατηρούν την φραγή (έτσι π.χ. το σύνολο των φραγμένων πραγματικών ακολουθιών είδαμε ότι αποτελεί διανυσματικό υποχώρο του συνόλου των πραγματικών ακολουθιών ως προς τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτου πολλαπλασιασμού), ενώ το άθροισμα φραγμένης με μη φραγμένη ακολουθία είναι μη φραγμένη ακολουθία. "Γενικεύσαμε" την έννοια στην σχεδόν παντού φραγή με τον προφανή τρόπο και δείξαμε την ισοδυναμία των δύο εννοιών. Δείξαμε ότι η ισοδυναμία αυτή μπορεί να είναι χρήσιμη στην εξαγωγή αποτελεσμάτων που π.χ. αποδίδουν την ιδιότητα της φραγής σε πραγματική ακολουθία μέσω κατάλληλης (σχεδόν παντού) σύγκρισης με φραγμένη ακολουθία, κ.ο.κ.

Παρατηρήσαμε ότι η διάταξη με την οποία εμφανίζονται οι όροι μιας πραγματικής ακολουθίας μέσα σε αυτή δεν συμφωνεί αναγκαστικά με την διάταξη τους στην πραγματική ευθεία. Όταν οι δύο αυτές διατάξεις σχετίζονται μονότονα αποκτούμε την έννοια της μονότονης ακολουθίας. Έτσι, και χρησιμοποιώντας τον ορισμό της μονότονης πραγματικής συνάρτησης, διερευνήσαμε ζητήματα μονοτονίας για τις πραγματικές ακολουθίες. Δείξαμε επίσης ότι η μονοτονία προκύπτει ισοδύναμα από την σύγκριση μεταξύ των όρων σε κάθε ζεύγος διαδοχικών όρων της ακολουθίας. Παρατηρήσαμε ότι οι (γνησίως) αύξουσες ακολουθίες είναι αναγκαστικά φραγμένες από κάτω, ενώ δυικά οι (γνησίως) φθίνουσες ακολουθίες είναι αναγκαστικά φραγμένες από πάνω. Παρόλα αυτά υπάρχουν μονότονες ακολουθίες που δεν είναι φραγμένες ακριβώς επειδή τους λείπει η ύπαρξη του έτερου φράγματος, ενώ υπάρχουν και ακολουθίες που δεν είναι ούτε μονότονες ούτε και φραγμένες.

Όταν όμως μια ακολουθία συνδυάζει και τις δύο ανωτέρω ιδιότητες τότε διαθέτει ένα ενδιαφέρον χαρακτηριστικό το οποίο θα μας βοηθήσει στην νοηματοδότηση του ορίου. Έτσι αποδειξαμε και διατυπώσαμε σημαντική ιδιότητα των ακολουθιών που είναι ταυτόγχρονα φραγμένες και μονότονες και η οποία σχετίζεται με μια μορφή "ασυμπτωτικής συγκέντρωσης" όποιας φραγμένης και αύξουσας ακολουθίας "γύρω από" το sypremum της και δυικά με την ίδια μορφή "ασυμπτωτικής συγκέντρωσης" όποιας φραγμένης και φθίνουσας ακολουθίας "γύρω από" το infimum της.

Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω όπως και κάποιες ασκήσεις μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Περαιτέρω Ασκήσεις:

1. Να δειχθεί ότι αν οι  φραγμένες τότε και η  φραγμένη.
2. Να δειχθεί ότι η ακολουθία  δεν είναι φραγμένη.
3. Να δειχθεί ότι για κάθε μονότοτονη ακολουθία, κάθε υπακολουθία αυτής έχει την ίδια ή ισχυρότερη μονοτονία.
4. Για τις ακολουθίες της Άσκησης 1, να δειχθεί ότι αν οι δύο πρώτες είναι αύξουσες, τότε και η τρίτη είναι (ενδεχομένως γνωσίως) αύξουσα.
5. Να δειχθεί ότι αν μια ακολουθία είναι φθίνουσα και φραγμένη, τότε σε κάθε ανοικτό διάστημα με κέντρο το infimum της θα περιέχει σχεδόν όλη την ακολουθία, με το πλήθος των όρων που βρίσκονται εκτός αυτού να μπορεί να εξαρτάται από το διάστημα. Θα άλλαζε το συμπέρασμα αν χρησιμοποιούσαμε τα κλειστά αντι των ανοικτών διαστήματα;