Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Η πρώτη διάλεξη είχε καταρχάς τον χαρακτήρα ενημέρωσης για ζητήματα που άπτονται του μαθήματος, όπως τις διαθέσιμες διαδικασίες επικοινωνίας πέραν των διαλέξεων (με έμφαση στο παρόν eclass), το εκπαιδευτικό υλικό (διαλέξεις, αναρτήσεις σημειώσεων – αποριών κ.λ.π.), την δυνατότητα παράδοσης λύσεων σε ασκήσεις για βελτίωση του τελικού βαθμού, κ.ο.κ. Τα παραπάνω περιγράφονται στην σύνοψη του μαθήματος η οποία βρίσκεται εδώ. Στην συνέχεια έγινε περιγραφή και κινητροδότηση βασικών εννοιών που θα παρουσιαστούν κατά την διάρκεια του μαθήματος. Πρόχειρες σημειώσεις για αυτά όπως και ασκήσεις για επανάληψη προγενέστερων εννοιών που είναι δυνατόν να χρειαστούν βρίσκονται εδώ.

Στην δεύτερη διάλεξη ξεκινήσαμε την πραγμάτευση της έννοιας της πραγματικής ακολουθίας. Εξετάσαμε δύο ισοδύναμους ορισμούς, ο πρώτος εκ των οποίων είναι βολικός για την πραγμάτευση αλγεβρικών ιδιοτήτων ενώ ο δεύτερος για την πραγμάτευση αναλυτικών ιδιοτήτων και την γενίκευση της έννοιας. Παρουσιάσαμε παραδείγματα πραγματικών ακολουθιών αλλά και ενδεικτικές μορφές πραγματικών ακολουθιών που εμφανίζονται στο υπόβαθρο της οικονομικής θεωρίας, της θεωρίας πιθανοτήτων, κ.ο.κ. Χρησιμοποιώντας τον διανυσματικό ορισμό εξετάσαμε την έννοια της ισότητας πραγματικών ακολουθιών η οποία και αποτελεί κατά "φυσικό τρόπο" επέκταση της έννοιας της ισότητας πραγματικών διανυσμάτων. Εξετάσαμε συνοπτικά μια γενίκευση αυτής η οποία επιτρέπει την συσχέτιση δύο πραγματικών ακολουθιών ως σχεδόν παντού ίσες ακόμη και όταν έχουν διαφορετικές συνιστώσες σε πεπερασμένο πλήθος θέσεων. Παρατηρήσαμε ότι η σχεδόν παντού ισότητα περιλαμβάνει την συνήθη ισότητα ως υποπερίπτωση, είναι και αυτή αυτοπαθής, συμμετρική και μεταβατική (γιατί;), ενώ μπορεί να μας είναι χρήσιμη σε περιπτώσεις που είναι δυνατόν η συμπεριφορά μιας πραγματικής ακολουθίας σε πεπερασμένο πλήθος θέσεων να θεωρείται αμελητέα. Γενικεύοντας θεωρήσαμε ότι μια ιδιότητα P θα ικανοποιείται σχεδόν παντού από μια πραγματική ακολουθία αν και μόνο αν όλοι οι όροι αυτής ικανοποιούν την P εκτός από πεπερασμένο πλήθος αυτών. Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Περαιτέρω Ασκήσεις

1. Να δειχθεί ότι αν για τρείς ακολουθίες, η πρώτη είναι σχεδόν παντού ίση με την δεύτερη, και η δεύτερη είναι σχεδόν παντού ίση με την τρίτη, τότε το πλήθος των θέσεων που μπορεί να έχουν διαφορετικούς όρους η πρώτη και η τρίτη είναι μικρότερο ίσο από το άθροισμα του αντίστοιχου πλήθους μεταξύ πρώτης και δεύτερης και αυτού μεταξύ δεύτερης και τρίτης.

2. Ως προς την παραπάνω άσκηση, να βρεθούν παραδείγματα όπου το πλήθος των θέσεων που μπορεί να έχουν διαφορετικούς όρους η πρώτη και η τρίτη, α) είναι μηδέν, β) είναι θετικό αλλά αυστηρά μικρότερο του παραπάνω αθροίσματος, γ) είναι θετικό και ίσο με το παραπάνω άθροισμα.

3. Να δειχθεί ότι η σχεδόν παντού ισότητα είναι μεταβατική.

4. Να βρεθεί παράδειγμα πραγματικής ακολουθίας όπου η ιδιότητα P δεν ισχύει για θετικό αλλά πεπερασμένο πλήθος όρων, όταν α) P="ο πραγματικός x είναι άρτιος φυσικός", β) α) P="ο πραγματικός x είναι άρρητός".

5. Για P όπως στην προηγούμενη άσκηση, να βρεθεί παράδειγμα πραγματικής ακολουθίας όπου η ιδιότητα P ισχύει για άπειρο πλήθος όρων, και ταυτόγχρονα δεν ισχύει για άπειρο πλήθος όρων.

6. Τι συμπεραίνετε από την χρήση της έννοιας της σχεδόν παντού ισότητας σε n-διάστατα πραγματικά διανύσματα;

Σημειώση: Η 5 μας επισημαίνει ότι το να ικανοποιείται κάποια ιδιότητα P σχεδόν παντού από μια πραγματική ακολουθία είναι ισχυρότερο από το να ικανοποιείται "απλώς" από άπειρο πλήθος όρων αυτής.