Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Συνεχίσαμε με το ζήτημα ολοκληρωσιμότητας δυναμοσειρών με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης παρατηρώντας ότι ο τρόπος της ολοκλήρωσης μας επιτρέπει (γιατί;) να έχουμε μια μοναδική σταθερά ολοκλήρωσης (όπως άλλωστε θα περιμέναμε) συνδυάζοντας τις σταθερές που προκύπτουν από την όρο προς όρο ολοκλήρωση σε μία. Εργαζόμενοι για μια ακόμη φορά με την γεωμετρική σειρά και το θεώρημα ολοκλήρωσης, αποκτήσαμε παράδειγμα όπου (α) η αρχική δυναμοσειρά και το ολοκλήρωμα ή η παράγωγος έχουν διαφορετικά διαστήματα σύγκλισης, (β) μέσω των παραπάνω, του θεωρήματος συνέχειας και του Αβελιανού Θεωρήματος για δυναμοσειρές (το οποίο προφανώς είναι εκτός του εύρους του μαθήματος) δείξαμε ότι η εναλλάσουσα αρμονική σειρά ισούται με ln(2), και αποκτήσαμε μια αναπαράσταση της λογαριθμικής συνάρτησης από δυναμοσειρά με κέντρο το 1 και διάστημα σύγκλισης το (0,2]. 

Ασχοληθήκαμε με το ζήτημα του ορισμένου ολοκληρώματος και είδαμε ότι αυτό προκύπτει από το αόριστο βάσει του Θεμελιώδους Θεωρήματος του Λογισμού εφόσον το διάστημα ολοκλήρωσης είναι υποσύνολο του διαστήματος σύγκλισης.

Περνώντας σε εφαρμογές δυναμοσειρών είδαμε εν συντομία κάποιες βασικές έννοιες που αφορούν στις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις. Παρατηρήσαμε ότι συνήθως λύσεις αυτών βρίσκονται μέσω περίπλοκων διαδικασιών ολοκλήρωσης (που συνδυάζονται με κατάλληλους μετασχηματισμούς) και ότι εφόσον η ολοκλήρωση είναι γενικά υπολογιστικά πολύπλοκη, προκύπτει εύλογα το ερώτημα αν είναι δυνατόν σε κάποιες περιπτώσεις να αποφευχθεί μέσω διαδικασίών εύρεσης λύσεων ενδεχομένως μικρότερης πολυπλοκότητας. Θα οδηγηθούμε έτσι σε μια εισαγωγή στην Μέθοδο των Δυναμοσειρών για την εύρεση λύσεων.

Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Ασκήσεις.

1. Να βρεθούν τα αόριστα ολοκληρώματα για τις παρακάτω δυναμοσειρές (αγνοήστε το ζήτημα του αν αυτές έχουν ή όχι εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης-γιατί είναι δυνατόν να το κάνετε;):

1. ,
2. ,
3. ,
4. ,
5. .

2. Για ποιές από τις παραπάνω περιπτώσεις τα ολοκληρώματα είναι καλώς ορισμένα;

3. Για αυτές που είναι καλώς ορισμένα να βρεθούν τα αόριστα ολοκληρώματα με κάτω όριο το κέντρο της δυναμοσειράς και άνω όριο το ενδιάμεσο σημείο μεταξύ του κέντρου και του δεξιού άκρου του διαστήματος σύγκλισης.